Условие
В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ ребро равно 6. а) Докажите, что прямая CA₁ перпендикулярна плоскости AB₁D₁. б) Найдите расстояние от точки C₁ до плоскости AB₁D₁.
Подсказка
Проверьте скалярные произведения вектора CA₁ с векторами AB₁ и AD₁.
Запишите уравнение плоскости AB₁D₁ и подставьте координаты C₁ при ребре 6.
Показать ответ
2√3
Пошаговое решение
- Намечаем ход решения
Проверьте скалярные произведения вектора CA₁ с векторами AB₁ и AD₁. Запишите уравнение плоскости AB₁D₁ и подставьте координаты C₁ при ребре 6.
- Вводим обозначения
Введём координаты A(0;0;0), B(6;0;0), D(0;6;0), A₁(0;0;6).
- Выполняем преобразование
Тогда CA₁=(−6;−6;6), AB₁=(6;0;6), AD₁=(0;6;6).
- Пункт а
а) Скалярные произведения CA₁·AB₁ и CA₁·AD₁ равны нулю.
- Выполняем преобразование
Прямые AB₁ и AD₁ пересекаются и лежат в плоскости AB₁D₁, поэтому CA₁⊥(AB₁D₁).
- Пункт б
б) Уравнение плоскости AB₁D₁ имеет вид x+y−z=0.
- Выполняем преобразование
Для C₁(6;6;6) расстояние равно |6+6−6|/√3=6/√3=2√3.
Ответ: 2√3