Условие
В конус с вершиной S, радиусом основания 6 и высотой 8 вписан шар (он касается основания и боковой поверхности конуса). а) Докажите, что все точки касания шара с боковой поверхностью конуса лежат на одной окружности, центр которой лежит на оси конуса, а плоскость параллельна основанию. б) Найдите длину этой окружности.
Подсказка
Рассмотрите осевое сечение, проходящее через точку касания: какую окружность и какой треугольник вы увидите?
Касательные, проведённые к окружности из одной точки, равны; чему равно расстояние от вершины конуса до точки касания?
Показать ответ
24π/5
Пошаговое решение
- а) Осевое сечение через произвольную точку касания
Шар, вписанный в конус, единственный (его большой круг в осевом сечении — круг, вписанный в треугольник), а поворот вокруг оси SO переводит конус в себя, значит, и вписанный шар — в себя. Поэтому его центр I неподвижен при поворотах, то есть лежит на оси SO, а точка касания шара с основанием — основание перпендикуляра из I, то есть центр O. Пусть T — точка касания шара с боковой поверхностью, SA — образующая, проходящая через T. Плоскость SOA — осевое сечение: в ней шар даёт большой круг, вписанный в равнобедренный треугольник SAA′ (AA′ — диаметр основания), а T — точка касания этого круга со стороной SA.
- а) Отрезки касательных
Отрезки касательных из точки A к кругу равны: AT = AO = 6. Образующая SA = √(36 + 64) = 10, поэтому ST = 10 − 6 = 4 для любой образующей. Значит, все точки касания удалены от S на 4 и лежат на образующих, составляющих с осью один и тот же угол, — то есть на окружности с центром на оси в плоскости, параллельной основанию (гомотетичной окружности основания с центром S и коэффициентом 4/10).
- б) Радиус окружности касания
При гомотетии с центром S и коэффициентом ST/SA = 4/10 = 2/5 окружность основания (радиус 6) переходит в окружность касания, поэтому её радиус ρ = 6·2/5 = 12/5. (Иначе: ρ = ST·sin∠OSA = 4·6/10.)
- б) Длина окружности
C = 2πρ = 2π·12/5 = 24π/5.
- Записываем ответ и проверяем
Ответ: 24π/5. Проверка: радиус шара r = S(осевого сечения)/p = (6·8)/(10 + 6) = 3; точка T находится на высоте 8 − 4·8/10 = 24/5, и расстояние от неё до центра I (он на высоте 3) равно √((24/5 − 3)² + (12/5)²) = √(81/25 + 144/25) = 3 = r. Типичная ошибка — взять за искомую окружность большой круг шара (длина 6π): шар касается конуса не по экватору.
Ответ: 24π/5
Критерии оценивания (3 балла)
- 3
- Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах: в пункте а доказано, что точки касания лежат на окружности с центром на оси в плоскости, параллельной основанию (через осевое сечение и равенство отрезков касательных: ST = SA − AO одинаково для всех образующих); в пункте б найден радиус окружности касания 12/5 (гомотетией с коэффициентом 2/5 или через ST·sin∠OSA) и получен ответ 24π/5.
- 2
- Обоснованно получен верный ответ 24π/5 в пункте б, ИЛИ имеется верное доказательство пункта а (окружность касания с центром на оси, ST = 4 для всех образующих) и при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки.
- 1
- Имеется верное доказательство пункта а (окружность касания с центром на оси, ST = 4 для всех образующих), ИЛИ при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б с использованием утверждения пункта а без его доказательства.
- 0
- Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.