Условие
В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ ребро равно 6; O — центр основания ABCD. а) Докажите, что угол A₁OA является линейным углом двугранного угла между плоскостями A₁BD и ABCD. б) Найдите косинус этого двугранного угла.
Подсказка
При ребре 6 докажите, что и AO, и A₁O перпендикулярны линии пересечения BD.
В прямоугольном треугольнике AA₁O используйте AO=6/√2 и AA₁=6.
Показать ответ
√3/3
Пошаговое решение
- Намечаем ход решения
При ребре 6 докажите, что и AO, и A₁O перпендикулярны линии пересечения BD. В прямоугольном треугольнике AA₁O используйте AO=6/√2 и AA₁=6.
- Пункт а
а) Диагонали квадрата взаимно перпендикулярны, поэтому AO⊥BD.
- Получаем следующий результат
Кроме того, A₁B=A₁D, следовательно, медиана A₁O равнобедренного треугольника A₁BD перпендикулярна BD.
- Выполняем преобразование
Значит, ∠A₁OA — линейный угол требуемого двугранного угла.
- Пункт б
б) AO=6/√2, AA₁=6, поэтому A₁O=√(AO²+AA₁²)=6√(3/2).
- Выполняем преобразование
Тогда cos∠A₁OA=AO/A₁O=1/√3=√3/3.
Ответ: √3/3