Задание 14 ЕГЭ: Стереометрическая задача

1. Задача 1В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ ребро равно 6. а) Докажите, что прямая CA₁ перпендикулярна плоскости AB₁D₁. б) Найдите расстояние от точки C₁ до плоскости AB₁D₁.
2. Задача 2В прямую треугольную призму ABCA₁B₁C₁ вписан шар (он касается обоих оснований и всех боковых граней). Основание призмы — прямоугольный треугольник ABC с…
3. Задача 3В конус с вершиной S, радиусом основания 6 и высотой 8 вписан шар (он касается основания и боковой поверхности конуса). а) Докажите, что все точки касания…
4. Задача 4В правильном тетраэдре ABCD ребро равно 4√2. Точки M и N — середины противоположных рёбер AB и CD. а) Докажите, что MN является общим перпендикуляром к AB и…
5. Задача 5В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ AB=6, AD=8, AA₁=10. а) Докажите, что прямая AA₁ параллельна плоскости BDD₁. б) Найдите расстояние от точки A₁ до…
6. Задача 6В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ ребро равно 6; O — центр основания ABCD. а) Докажите, что угол A₁OA является линейным углом двугранного угла между плоскостями A₁BD и…
7. Задача 7В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD сторона основания равна 16, высота SO=6; M — середина CD. а) Докажите, что ∠SMO является линейным углом…
8. Задача 8В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD сторона основания равна 12√2, высота SO=16. а) Докажите, что угол SCO равен углу между боковым ребром SC и…
9. Задача 9Все грани параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ — равные ромбы со стороной 6, причём ∠BAD = ∠BAA₁ = ∠DAA₁ = 60°. а) Докажите, что A₁ABD — правильный тетраэдр. б)…
10. Задача 10В тетраэдре DABC рёбра DA=6, DB=8, DC=24 попарно перпендикулярны. а) Докажите, что плоскости BDC и ADC перпендикулярны. б) Найдите расстояние от точки D до…
11. Задача 11В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ ребро равно 10. M и N — середины отрезков AB₁ и CD₁ соответственно. а) Докажите, что MN — общий перпендикуляр прямых AB₁ и CD₁. б) Найдите…
12. Задача 12В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ ребро равно 6. а) Докажите, что прямая AC₁ перпендикулярна плоскости A₁BD. б) Найдите расстояние от точки C₁ до плоскости A₁BD.
13. Задача 13В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD сторона основания равна 4√2, а боковое ребро равно 5. Через диагональ BD основания проведена плоскость,…
14. Задача 14Основание пирамиды SABCD — ромб ABCD, O — точка пересечения его диагоналей, SO — высота пирамиды. На ребре SC отмечена точка M так, что SM : MC = 1 : 2. Через…
15. Задача 15В правильной треугольной усечённой пирамиде ABCA₁B₁C₁ стороны оснований AB = 12 и A₁B₁ = 6, высота равна 3. Точка M — середина ребра BC. а) Докажите, что…
16. Задача 16В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD сторона основания равна 16, а высота SO равна 15. Точка M — середина ребра CD. а) Докажите, что центр шара,…
17. Задача 17Вершина пирамиды SABC совпадает с вершиной конуса, а точки A, B и C лежат на окружности основания конуса, причём AB — диаметр этой окружности. Известно, что…
18. Задача 18Радиус основания конуса с вершиной S равен 5, высота SO равна 4. Плоскость, проходящая через вершину S, пересекает окружность основания в точках A и B.…
19. Задача 19В пирамиде SABCD основание — прямоугольник ABCD со сторонами AB = 6 и AD = 8, все боковые рёбра равны 7, O — точка пересечения диагоналей основания. а)…
20. Задача 20В пирамиде SABC основание ABC и боковая грань SAB — правильные треугольники со стороной 6, плоскость SAB перпендикулярна плоскости основания. Точка T на ребре…
21. Задача 21Шар радиуса 7 с центром O пересечён двумя перпендикулярными плоскостями α и β. Сечения шара этими плоскостями — круги радиусов 3√5 и 2√10 с центрами O₁ и O₂…
22. Задача 22В пирамиде SABC основание — прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C, AC = 8, BC = 6, а все боковые рёбра равны √34. а) Докажите, что плоскость SAB…
23. Задача 23Отрезок AB — диаметр нижнего основания цилиндра, отрезок CD — диаметр верхнего основания, O₁ — центр верхнего основания, причём прямые AB и CD…
24. Задача 24Радиус шара с центром O равен 6. Прямая ℓ удалена от точки O на расстояние 10. Через прямую ℓ проведены две плоскости, касающиеся сферы — поверхности шара — в…
25. Задача 25В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ с ребром 6 точка M — середина ребра CC₁. а) Докажите, что основание перпендикуляра, опущенного из точки M на прямую BD₁, — середина…
26. Задача 26В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ основание ABCD — квадрат со стороной 4, а боковое ребро AA₁ равно 7. Точка K — середина ребра AA₁. Плоскость…
27. Задача 27Основание прямой призмы ABCDA₁B₁C₁D₁ — ромб ABCD с диагоналями AC=8 и BD=6. Боковое ребро AA₁ равно 3. а) Докажите, что прямая BD перпендикулярна плоскости…
28. Задача 28Основание прямой призмы ABCDA₁B₁C₁D₁ — равнобедренная трапеция ABCD с основаниями AD=10, BC=4 и боковыми сторонами AB=CD=5. Боковое ребро призмы равно 6.…
29. Задача 29В пирамиде SABCD основание ABCD — прямоугольник со сторонами AB = 5 и AD = 4. Боковое ребро SA перпендикулярно плоскости основания и равно 3. а) Докажите, что…
30. Задача 30В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF сторона основания равна 4, а боковое ребро равно 2√6. а) Докажите, что прямая BF перпендикулярна плоскости SAD. б)…
31. Задача 31В правильной шестиугольной призме ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁ сторона основания равна 8, а боковое ребро равно 3. а) Докажите, что плоскости A₁BF и AA₁D₁…
32. Задача 32В правильной шестиугольной призме ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁ сторона основания равна 4, а боковое ребро равно 8. а) Докажите, что прямые A₁B и DE₁ параллельны. б)…
33. Задача 33В пирамиде SABC основание ABC — прямоугольный треугольник с прямым углом B, AB = 3, BC = 12. Ребро SA перпендикулярно плоскости основания и равно 4. а)…
34. Задача 34В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ основание ABCD — квадрат со стороной 6, а боковое ребро равно 9. Плоскость α проходит через прямую BD…
35. Задача 35В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания AB равна 6, а боковое ребро SA равно 4√3. а) Докажите, что прямые SA и BC перпендикулярны. б) Найдите…
36. Задача 36В правильном тетраэдре ABCD ребро равно 6. Точки M и N — середины рёбер CD и BD соответственно. а) Докажите, что прямая BC параллельна плоскости AMN. б)…
37. Задача 37В наклонной треугольной призме ABCA₁B₁C₁ основание ABC — правильный треугольник со стороной 6, боковое ребро AA₁ равно 8 и образует с рёбрами AB и AC углы по…
38. Задача 38В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ ребро равно 6. Точки M и N — середины BC и CD соответственно. Плоскость проходит через A₁, M и N. а) Докажите, что сечение — пятиугольник…
39. Задача 39Вершины A и B квадрата ABCD лежат на окружности нижнего основания цилиндра, а вершины C и D — на окружности верхнего основания. Плоскость квадрата не…
40. Задача 40В прямой треугольной призме ABCA₁B₁C₁ угол BAC прямой, AB=15, AC=20, AA₁=9. H — основание высоты из A на BC. а) Докажите, что A₁H⊥BC. б) Найдите площадь…
41. Задача 41Радиус основания цилиндра равен 13, высота равна 9; O и O₁ — центры нижнего и верхнего оснований. Плоскость, параллельная оси цилиндра и удалённая от неё на…
42. Задача 42Ребро куба ABCDA₁B₁C₁D₁ равно 4, точка M — середина ребра AD. а) Докажите, что прямая A₁B перпендикулярна плоскости AB₁C₁. б) Найдите угол между прямой BM и…
43. Задача 43В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ AB=6, AD=4, AA₁=3. Точки M и N — середины рёбер AB и BC соответственно. Плоскость D₁MN пересекает ребро AA₁ в…
44. Задача 44В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD сторона основания 6, высота SO=4. Плоскость проходит через центр O основания параллельно грани SAB. а) Докажите,…
45. Задача 45На окружности нижнего основания цилиндра отмечены точки A и B, на окружности верхнего основания — точки B₁ и C₁, причём BB₁ — образующая цилиндра, а отрезок…
46. Задача 46Основание прямой призмы ABCA₁B₁C₁ — прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C, катеты AC=6 и BC=10; боковое ребро призмы равно 8. Точка M — середина…
47. Задача 47В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ с ребром 4 точки P, Q и R — середины рёбер AB, BC и CC₁ соответственно. а) Докажите, что сечение куба плоскостью PQR — правильный…
48. Задача 48В правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁ сторона основания равна 6, а боковое ребро равно 8. Точка M — середина ребра AB. а) Докажите, что прямая CM…

Другие номера: №1 · №2 · №3 · №4 · №5 · №6 · №7 · №8 · №9 · №10 · №11 · №12 · №13 · №15 · №16 · №17 · №18 · №19