Условие
В правильном тетраэдре ABCD ребро равно 4√2. Точки M и N — середины противоположных рёбер AB и CD. а) Докажите, что MN является общим перпендикуляром к AB и CD. б) Найдите расстояние между прямыми AB и CD.
Подсказка
Сначала докажите AN=BN и MC=MD с помощью равенства граней тетраэдра.
После доказательства общего перпендикуляра примените Пифагора к AMN при ребре 4√2.
Показать ответ
4
Пошаговое решение
- Намечаем ход решения
Сначала докажите AN=BN и MC=MD с помощью равенства граней тетраэдра. После доказательства общего перпендикуляра примените Пифагора к AMN при ребре 4√2.
- Пункт а
а) В равных треугольниках ACD и BCD медианы AN и BN равны.
- Выполняем преобразование
Поэтому треугольник ANB равнобедренный, а его медиана NM является высотой: MN⊥AB.
- Выполняем преобразование
Аналогично MC=MD, и в равнобедренном треугольнике CMD медиана MN перпендикулярна CD.
- Выполняем преобразование
Значит, MN — общий перпендикуляр.
- Пункт б
б) В грани ACD медиана AN равна 4√2·√3/2=4√6/2, а AM=4√2/2=4√2/2.
- Выполняем преобразование
Из прямоугольного треугольника AMN: MN=√(AN²−AM²)=4.
Ответ: 4