Условие
В прямую треугольную призму ABCA₁B₁C₁ вписан шар (он касается обоих оснований и всех боковых граней). Основание призмы — прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C, AC = 6, BC = 8. а) Докажите, что высота призмы вдвое больше радиуса окружности, вписанной в треугольник ABC. б) Найдите отношение объёма шара к объёму призмы.
Подсказка
Шар касается двух параллельных плоскостей оснований: как расстояние между ними связано с радиусом шара?
Рассечь призму плоскостью через центр шара параллельно основаниям: что окажется вписанным в сечение?
Показать ответ
π/9
Пошаговое решение
- а) Высота призмы — диаметр шара
Шар касается двух параллельных плоскостей оснований, поэтому расстояние между ними равно диаметру шара: h = 2R, где R — радиус шара, а центр I шара равноудалён от оснований (лежит в средней плоскости призмы).
- а) Радиус шара — радиус вписанной окружности
Сечение призмы плоскостью, проходящей через I параллельно основаниям, — треугольник, равный ABC. Боковые грани перпендикулярны этой плоскости, поэтому расстояния от I до боковых граней равны расстояниям от I до сторон сечения. Они равны R, значит, сечение шара — большой круг радиуса R, вписанный в треугольник, равный ABC: R = r — радиус вписанной в ABC окружности, и h = 2r.
- б) Находим r и высоту
AB = √(36 + 64) = 10. Для прямоугольного треугольника r = (AC + BC − AB)/2 = (6 + 8 − 10)/2 = 2 (или r = S/p = 24/12 = 2). Значит, R = 2, h = 4.
- б) Объёмы и отношение
V(шара) = (4/3)πR³ = (4/3)π·8 = 32π/3. V(призмы) = S(ABC)·h = (1/2)·6·8·4 = 96. Отношение: (32π/3) : 96 = 32π/288 = π/9.
- Записываем ответ и проверяем
Ответ: π/9. Проверка: π/9 ≈ 0,35 < 1 — шар занимает около трети призмы, это правдоподобно. Типичная ошибка — взять высоту призмы равной r (а не 2r) или радиус описанной окружности 5 вместо вписанной.
Ответ: π/9
Критерии оценивания (3 балла)
- 3
- Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах: в пункте а доказано, что h = 2r (шар касается обоих оснований, поэтому h = 2R; сечение через центр шара параллельно основаниям даёт большой круг, вписанный в треугольник, равный ABC, поэтому R = r); в пункте б найдены r = 2, h = 4, V(шара) = 32π/3, V(призмы) = 96 и получен ответ π/9.
- 2
- Обоснованно получен верный ответ π/9 в пункте б, ИЛИ имеется верное доказательство пункта а (высота призмы вдвое больше радиуса вписанной окружности основания) и при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки.
- 1
- Имеется верное доказательство пункта а (высота призмы вдвое больше радиуса вписанной окружности основания), ИЛИ при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б с использованием утверждения пункта а без его доказательства.
- 0
- Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.