Условие
В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ ребро равно 10. M и N — середины отрезков AB₁ и CD₁ соответственно. а) Докажите, что MN — общий перпендикуляр прямых AB₁ и CD₁. б) Найдите расстояние между прямыми AB₁ и CD₁.
Подсказка
Для куба с ребром 10 задайте вершины координатами и найдите координаты середин M и N.
Проверьте скалярные произведения MN с AB₁ и CD₁; ожидаемая длина MN равна ребру 10.
Показать ответ
10
Пошаговое решение
- Намечаем ход решения
Для куба с ребром 10 задайте вершины координатами и найдите координаты середин M и N. Проверьте скалярные произведения MN с AB₁ и CD₁; ожидаемая длина MN равна ребру 10.
- Пункт а
а) Возьмём A(0;0;0), B(10;0;0), C(10;10;0), D(0;10;0), B₁(10;0;10), D₁(0;10;10).
- Выполняем преобразование
Тогда M=(10/2;0;10/2), N=(10/2;10;10/2), поэтому MN=(0;10;0).
- Выполняем преобразование
Направляющие векторы AB₁=(10;0;10) и CD₁=(−10;0;10) имеют нулевые скалярные произведения с MN.
- Пункт б
б) Отрезок MN соединяет данные прямые и перпендикулярен обеим, значит расстояние равно MN=10.
Ответ: 10