Условие
В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD сторона основания равна 16, а высота SO равна 15. Точка M — середина ребра CD. а) Докажите, что центр шара, вписанного в пирамиду, лежит на биссектрисе угла SMO. б) Найдите радиус шара, вписанного в пирамиду.
Подсказка
Шар касается основания и боковой грани; в какой плоскости лежат оба перпендикуляра из центра к ним?
Точка, равноудалённая от сторон угла, лежит на его биссектрисе; вспомните, в каком отношении биссектриса делит противоположную сторону.
Показать ответ
24/5
Пошаговое решение
- а) Центр лежит на высоте
Центр I вписанного шара единственный. Пирамида симметрична относительно плоскостей SAC, SBD и плоскостей, проходящих через SO параллельно сторонам основания; каждая симметрия переводит вписанный шар в себя, поэтому I лежит на всех этих плоскостях, то есть на их общей прямой SO.
- а) Расстояния до основания и до грани SCD
Расстояние от I до основания равно IO, так как SO ⊥ (ABCD). CD ⊥ OM и CD ⊥ SO, значит, CD ⊥ (SOM), и плоскость SOM перпендикулярна грани SCD. Перпендикуляр из I на (SCD) лежит в плоскости SOM и падает на прямую SM, поэтому расстояние от I до грани равно расстоянию от I до прямой SM.
- а) Точка, равноудалённая от сторон угла
Шар касается основания и грани SCD, поэтому точка I угла SMO равноудалена от его сторон MO и MS, а значит, лежит на биссектрисе угла SMO. Что и требовалось доказать.
- б) Свойство биссектрисы
OM = 16/2 = 8, SM = √(SO² + OM²) = √(225 + 64) = 17. Биссектриса MI делит SO в отношении OI : IS = OM : MS = 8 : 17, поэтому r = OI = 15·8/(8 + 17) = 120/25 = 24/5.
- Проверка и ответ
Проверим формулой r = 3V/S: V = (1/3)·256·15 = 1280, S = 256 + 4·(1/2)·16·17 = 800, r = 3840/800 = 24/5. Типичная ошибка — делить SO пополам или брать отношение OI : IS = SM : OM (наоборот), что даёт 51/5.
Ответ: 24/5
Критерии оценивания (3 балла)
- 3
- Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах: доказано, что центр вписанного шара лежит на биссектрисе угла SMO, и обоснованно найдено r = OI = 24/5 по свойству биссектрисы или по формуле r = 3V/S.
- 2
- Обоснованно получен верный ответ в пункте б (r = OI = 24/5 по свойству биссектрисы или по формуле r = 3V/S), ИЛИ имеется верное доказательство пункта а и при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки (например, ошибка при вычислении SM = √289 = 17 или дроби 15·8/25).
- 1
- Имеется верное доказательство пункта а (центр вписанного шара лежит на биссектрисе угла SMO), ИЛИ при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б с использованием утверждения пункта а без его доказательства (использовано положение центра на биссектрисе угла SMO без доказательства).
- 0
- Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.