Условие
В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD сторона основания равна 4√2, а боковое ребро равно 5. Через диагональ BD основания проведена плоскость, перпендикулярная ребру SC; она пересекает SC в точке K. а) Докажите, что CK : KS = 16 : 9. б) Найдите площадь сечения пирамиды этой плоскостью.
Подсказка
Сначала докажите, что BD перпендикулярна плоскости SAC: тогда искомая плоскость содержит перпендикуляр из O на SC.
В прямоугольном треугольнике высота, проведённая к гипотенузе, делит её на отрезки a²/c и b²/c.
Показать ответ
48/5
Пошаговое решение
- а) BD перпендикулярна плоскости SAC
Диагонали квадрата перпендикулярны: BD ⊥ AC; высота SO перпендикулярна основанию: BD ⊥ SO. Значит, BD ⊥ (SAC) и, в частности, BD ⊥ SC и BD ⊥ OK для любой точки K плоскости SAC.
- а) Где лежит точка K
В плоскости SAC проведём OK ⊥ SC. Тогда SC ⊥ OK и SC ⊥ BD, то есть плоскость BDK перпендикулярна SC; такая плоскость через BD единственная, поэтому это и есть данная плоскость. OC = (4√2·√2)/2 = 4, SO = √(25 − 16) = 3. В прямоугольном треугольнике SOC отрезок OK — высота к гипотенузе: CK = OC²/SC = 16/5, KS = SO²/SC = 9/5, CK : KS = 16 : 9.
- б) Вид сечения
Плоскость пересекает грани SBC и SCD по отрезкам BK и DK, основание — по BD. Рёбра SA, SB, SD она не пересекает во внутренних точках: угол ASC тупой (cos ASC = (25 + 25 − 64)/50 < 0), поэтому точки A и S лежат по одну сторону от плоскости, перпендикулярной SC в точке K. Сечение — треугольник BDK.
- Площадь треугольника BDK
OK ⊥ BD (пункт а), поэтому OK — высота треугольника BDK. OK = SO·OC/SC = 3·4/5 = 12/5, BD = 8. S = (1/2)·BD·OK = (1/2)·8·12/5 = 48/5.
- Записываем ответ
Площадь сечения равна 48/5. Типичная ошибка — считать сечением четырёхугольник, проходящий через A, или взять высотой треугольника BDK отрезок BK вместо OK.
Ответ: 48/5
Критерии оценивания (3 балла)
- 3
- Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах: доказано, что CK : KS = 16 : 9 (K — основание высоты OK треугольника SOC), и обоснованно найдено площадь треугольника BDK, равная 48/5.
- 2
- Обоснованно получен верный ответ в пункте б (площадь треугольника BDK, равная 48/5), ИЛИ имеется верное доказательство пункта а и при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки (например, ошибка в произведении SO·OC/SC = 12/5 или в (1/2)·8·12/5).
- 1
- Имеется верное доказательство пункта а (CK : KS = 16 : 9 (K — основание высоты OK треугольника SOC)), ИЛИ при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б с использованием утверждения пункта а без его доказательства (использовано, что OK ⊥ SC и OK — высота сечения, без доказательства пункта а).
- 0
- Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.