Условие
В тетраэдре DABC рёбра DA=6, DB=8, DC=24 попарно перпендикулярны. а) Докажите, что плоскости BDC и ADC перпендикулярны. б) Найдите расстояние от точки D до плоскости ABC.
Подсказка
При DA=6, DB=8, DC=24 прямая DB перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости ADC.
Введите координаты D(0;0;0), A(6;0;0), B(0;8;0), C(0;0;24) и используйте уравнение плоскости в отрезках.
Показать ответ
12√26/13
Пошаговое решение
- Намечаем ход решения
При DA=6, DB=8, DC=24 прямая DB перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости ADC. Введите координаты D(0;0;0), A(6;0;0), B(0;8;0), C(0;0;24) и используйте уравнение плоскости в отрезках.
- Пункт а
а) DB⊥DA и DB⊥DC, причём DA и DC пересекаются в плоскости ADC.
- Выполняем преобразование
Поэтому DB⊥(ADC).
- Выполняем преобразование
Так как DB лежит в плоскости BDC, плоскости BDC и ADC перпендикулярны.
- Пункт б
б) В указанных координатах плоскость ABC имеет уравнение x/6+y/8+z/24=1.
- Выполняем преобразование
Расстояние от начала координат до неё равно 1/√(1/6²+1/8²+1/24²).
- Выполняем преобразование
Сумма под корнем равна 26/(24)², поэтому расстояние равно 24/√26=12√26/13.
Ответ: 12√26/13