Условие
В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ ребро равно 6. а) Докажите, что прямая AC₁ перпендикулярна плоскости A₁BD. б) Найдите расстояние от точки C₁ до плоскости A₁BD.
Подсказка
При ребре 6 направляющий вектор AC₁ сравните с двумя пересекающимися векторами плоскости A₁BD.
Получите уравнение x+y+z=6 и примените формулу расстояния от C₁(6;6;6).
Показать ответ
4√3
Пошаговое решение
- Намечаем ход решения
При ребре 6 направляющий вектор AC₁ сравните с двумя пересекающимися векторами плоскости A₁BD. Получите уравнение x+y+z=6 и примените формулу расстояния от C₁(6;6;6).
- Пункт а
а) В координатах A(0;0;0), B(6;0;0), D(0;6;0), A₁(0;0;6), C₁(6;6;6) имеем AC₁=(6;6;6), A₁B=(6;0;−6), A₁D=(0;6;−6).
- Выполняем преобразование
Оба скалярных произведения равны нулю, значит AC₁⊥(A₁BD).
- Пункт б
б) Плоскость A₁BD задаётся уравнением x+y+z=6.
- Выполняем преобразование
Для C₁ расстояние равно |18−6|/√3=12/√3=4√3.
Ответ: 4√3