Условие
Вершина пирамиды SABC совпадает с вершиной конуса, а точки A, B и C лежат на окружности основания конуса, причём AB — диаметр этой окружности. Известно, что AC = 6, BC = 8, а образующая конуса равна 8. а) Докажите, что плоскости SAB и ABC перпендикулярны. б) Найдите угол между прямой SC и плоскостью SAB.
Подсказка
Где лежит центр основания конуса, если AB — диаметр? Какая прямая тогда лежит в плоскости SAB?
Перпендикуляр к плоскости SAB из точки C можно провести прямо в плоскости основания.
Показать ответ
arcsin(3/5)
Пошаговое решение
- а) Высота конуса лежит в плоскости SAB
Пусть O — центр основания конуса; SO — высота конуса, SO ⊥ (ABC). Так как AB — диаметр, точка O лежит на AB, а значит, прямая SO лежит в плоскости SAB. Плоскость SAB проходит через перпендикуляр SO к плоскости ABC, поэтому (SAB) ⊥ (ABC).
- б) Опускаем перпендикуляр на плоскость SAB
Проведём в плоскости основания CK ⊥ AB (K лежит на AB). Плоскости SAB и ABC перпендикулярны (пункт а), CK лежит в одной из них и перпендикулярна их линии пересечения AB, значит, CK ⊥ (SAB). Тогда SK — проекция SC на плоскость SAB, искомый угол — угол CSK, и sin∠CSK = CK/SC.
- б) Находим CK
Угол ACB опирается на диаметр, поэтому ∠ACB = 90°, AB = √(36 + 64) = 10 (и это 2·5, согласовано с радиусом). CK — высота прямоугольного треугольника к гипотенузе: CK = AC·BC/AB = 6·8/10 = 24/5.
- б) Вычисляем угол
SC — образующая конуса, SC = 8. sin∠CSK = (24/5)/8 = 3/5, ∠CSK = arcsin(3/5).
- Записываем ответ и проверяем
Ответ: arcsin(3/5) (то же самое, что arctg(3/4)). Проверка: SK = √(SC² − CK²) = √(64 − 576/25) = 32/5, tg∠CSK = (24/5):(32/5) = 3/4. Типичная ошибка — взять за проекцию точки C на плоскость SAB центр O и считать угол CSO: OC ⊥ (SAB) только когда C — середина дуги AB.
Ответ: arcsin(3/5)
Критерии оценивания (3 балла)
- 3
- Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах: в пункте а доказано, что (SAB) ⊥ (ABC) (центр O лежит на диаметре AB, высота SO ⊂ (SAB), признак перпендикулярности плоскостей); в пункте б обосновано CK ⊥ (SAB) и угол CSK как угол между SC и плоскостью, найдены AB = 10, CK = 24/5, SC = 8 и получен ответ arcsin(3/5).
- 2
- Обоснованно получен верный ответ arcsin(3/5) в пункте б, ИЛИ имеется верное доказательство пункта а (плоскости SAB и ABC перпендикулярны) и при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки.
- 1
- Имеется верное доказательство пункта а (плоскости SAB и ABC перпендикулярны), ИЛИ при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б с использованием утверждения пункта а без его доказательства.
- 0
- Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.