Условие
В правильной треугольной усечённой пирамиде ABCA₁B₁C₁ стороны оснований AB = 12 и A₁B₁ = 6, высота равна 3. Точка M — середина ребра BC. а) Докажите, что плоскость AA₁M перпендикулярна прямой BC. б) Найдите угол между плоскостью боковой грани BCC₁B₁ и плоскостью основания ABC.
Подсказка
Отрезок, соединяющий середины оснований равнобокой трапеции, перпендикулярен основаниям.
Опустите из M₁ перпендикуляр на AM: получится прямоугольный треугольник с катетом, равным высоте.
Показать ответ
60°
Пошаговое решение
- а) Две прямые, перпендикулярные BC
AM — медиана правильного треугольника ABC, значит, AM ⊥ BC. Пусть M₁ — середина B₁C₁. Боковая грань BCC₁B₁ — равнобокая трапеция, отрезок MM₁, соединяющий середины её оснований, — ось симметрии, поэтому MM₁ ⊥ BC. По признаку BC ⊥ (AMM₁).
- а) Плоскость AMM₁ содержит A₁
A₁M₁ ⊥ B₁C₁ (медиана правильного треугольника A₁B₁C₁), а B₁C₁ ∥ BC, значит, A₁M₁ ⊥ BC. Все прямые, проходящие через M₁ перпендикулярно BC, лежат в одной плоскости — плоскости AMM₁, поэтому A₁ лежит в ней, и плоскость AA₁M совпадает с AMM₁: она перпендикулярна BC.
- б) Линейный угол
Лучи MA и MM₁ лежат в плоскости основания и в боковой грани и перпендикулярны общему ребру BC (пункт а), поэтому угол AMM₁ — линейный угол искомого двугранного угла.
- Вычисляем тангенс
Проведём M₁P ⊥ AM. Плоскость AMM₁ перпендикулярна прямой BC основания, значит, перпендикулярна и самому основанию; M₁P перпендикулярна их общей прямой AM, поэтому M₁P ⊥ (ABC) и M₁P = 3 — высота. Радиусы вписанных окружностей оснований: OM = 12/(2√3) = 2√3 и O₁M₁ = 6/(2√3) = √3, поэтому MP = 2√3 − √3 = √3. tg∠AMM₁ = M₁P/MP = 3/√3 = √3, угол равен 60°.
- Записываем ответ
Угол между плоскостью грани BCC₁B₁ и основанием равен 60°. Типичная ошибка — взять разность радиусов ОПИСАННЫХ окружностей 4√3 − 2√3 = 2√3 (это проекция бокового ребра, а не апофемы) и получить arctg(√3/2).
Ответ: 60°
Критерии оценивания (3 балла)
- 3
- Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах: доказано, что плоскость AA₁M перпендикулярна BC, и обоснованно найдено угол AMM₁ = 60° (tg = 3/√3).
- 2
- Обоснованно получен верный ответ в пункте б (угол AMM₁ = 60° (tg = 3/√3)), ИЛИ имеется верное доказательство пункта а и при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки (например, неверно найдены радиусы вписанных окружностей 2√3 и √3).
- 1
- Имеется верное доказательство пункта а (плоскость AA₁M перпендикулярна BC), ИЛИ при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б с использованием утверждения пункта а без его доказательства (угол AMM₁ объявлен линейным углом без доказательства перпендикулярности плоскости AA₁M и BC).
- 0
- Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.