Условие
Радиус основания конуса с вершиной S равен 5, высота SO равна 4. Плоскость, проходящая через вершину S, пересекает окружность основания в точках A и B. Расстояние от центра O основания до этой плоскости равно 12/5. Точка H — середина хорды AB. а) Докажите, что плоскость SOH перпендикулярна плоскости SAB. б) Найдите площадь сечения SAB.
Подсказка
Докажите, что хорда AB перпендикулярна плоскости, содержащей высоту конуса и точку H.
Перпендикуляр из O к плоскости сечения можно опустить внутри плоскости SOH — на прямую SH.
Показать ответ
20
Пошаговое решение
- а) Прямая AB перпендикулярна плоскости SOH
Треугольник OAB равнобедренный (OA = OB — радиусы), OH — медиана, значит, OH ⊥ AB. Высота SO перпендикулярна плоскости основания, поэтому SO ⊥ AB. Прямые SO и OH пересекаются, следовательно, AB ⊥ (SOH).
- а) Признак перпендикулярности плоскостей
Плоскость SAB проходит через прямую AB, перпендикулярную плоскости SOH, значит, плоскости SAB и SOH перпендикулярны. Кроме того, SH ⊥ AB (SH лежит в плоскости SOH), то есть SH — высота треугольника SAB.
- б) Находим OH из расстояния
Пусть OP — перпендикуляр из O к прямой SH. Он лежит в плоскости SOH, перпендикулярной плоскости SAB, и перпендикулярен их линии пересечения SH, поэтому OP ⊥ (SAB) и OP = 12/5. В прямоугольном треугольнике SOH высота к гипотенузе: OP = SO·OH/SH. Обозначим OH = x: 4x/√(16 + x²) = 12/5, 20x = 12√(16 + x²), 400x² = 144x² + 2304, 256x² = 2304, x = 3.
- б) Вычисляем площадь сечения
SH = √(SO² + OH²) = √(16 + 9) = 5. AH = √(OA² − OH²) = √(25 − 9) = 4, AB = 8. S(SAB) = (1/2)·AB·SH = (1/2)·8·5 = 20.
- Записываем ответ и проверяем
Ответ: 20. Проверка: OP = 4·3/5 = 12/5 — совпадает с условием. Типичная ошибка — считать расстояние от O до плоскости равным OH (расстоянию до хорды) и получить OH = 12/5; расстояние до плоскости — высота треугольника SOH, а не его катет.
Ответ: 20
Критерии оценивания (3 балла)
- 3
- Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах: в пункте а доказано, что (SOH) ⊥ (SAB) (AB ⊥ OH как медиана равнобедренного треугольника, AB ⊥ SO, признак перпендикулярности прямой и плоскости, затем признак перпендикулярности плоскостей); в пункте б расстояние 12/5 обосновано как высота OP треугольника SOH, найдены OH = 3, SH = 5, AB = 8 и получен ответ 20.
- 2
- Обоснованно получен верный ответ 20 в пункте б, ИЛИ имеется верное доказательство пункта а (плоскость SOH перпендикулярна плоскости SAB) и при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки.
- 1
- Имеется верное доказательство пункта а (плоскость SOH перпендикулярна плоскости SAB), ИЛИ при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б с использованием утверждения пункта а без его доказательства.
- 0
- Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.