Условие
В пирамиде SABC основание ABC и боковая грань SAB — правильные треугольники со стороной 6, плоскость SAB перпендикулярна плоскости основания. Точка T на ребре AC такова, что AT : TC = 1 : 3. а) Докажите, что прямые ST и AC перпендикулярны. б) Найдите угол между плоскостями SAC и ABC.
Подсказка
Если две плоскости перпендикулярны, перпендикуляр к их общей прямой в одной из них перпендикулярен другой.
Проверьте, что из точки H перпендикуляр на AC попадает именно в T.
Показать ответ
arctg 2
Пошаговое решение
- а) Высота пирамиды
Пусть H — середина AB. В правильном треугольнике SAB медиана SH — высота: SH ⊥ AB. Плоскости SAB и ABC перпендикулярны, AB — их общая прямая, поэтому SH ⊥ (ABC).
- а) HT ⊥ AC
AH = 3, AT = 6/4 = 3/2, угол A = 60°. По теореме косинусов HT² = 9 + 9/4 − 2·3·(3/2)·(1/2) = 27/4, HT = 3√3/2, и AT² + HT² = 9/4 + 27/4 = 9 = AH², значит, угол ATH прямой: HT ⊥ AC. HT — проекция наклонной ST на плоскость основания, по теореме о трёх перпендикулярах ST ⊥ AC.
- б) Линейный угол
HT ⊥ AC и ST ⊥ AC, поэтому угол STH — линейный угол двугранного угла при ребре AC, то есть угол между плоскостями SAC и ABC.
- Вычисляем тангенс
SH = 6·√3/2 = 3√3. Треугольник SHT прямоугольный (SH ⊥ HT): tg∠STH = SH/HT = 3√3 : (3√3/2) = 2. Угол равен arctg 2.
- Записываем ответ
Угол между плоскостями SAC и ABC равен arctg 2. Типичная ошибка — построить линейный угол через середину AC (как в правильной пирамиде): здесь высота падает в H, а не в центр основания, и отрезок от H к середине AC не перпендикулярен AC.
Ответ: arctg 2
Критерии оценивания (3 балла)
- 3
- Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах: доказано, что ST ⊥ AC (HT ⊥ AC и теорема о трёх перпендикулярах), и обоснованно найдено угол STH, равный arctg 2.
- 2
- Обоснованно получен верный ответ в пункте б (угол STH, равный arctg 2), ИЛИ имеется верное доказательство пункта а и при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки (например, ошибка при вычислении HT² = 27/4 или частного 3√3 : (3√3/2)).
- 1
- Имеется верное доказательство пункта а (ST ⊥ AC (HT ⊥ AC и теорема о трёх перпендикулярах)), ИЛИ при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б с использованием утверждения пункта а без его доказательства (угол STH взят линейным без доказательства ST ⊥ AC и HT ⊥ AC).
- 0
- Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.