Условие
Все грани параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ — равные ромбы со стороной 6, причём ∠BAD = ∠BAA₁ = ∠DAA₁ = 60°. а) Докажите, что A₁ABD — правильный тетраэдр. б) Найдите объём параллелепипеда.
Подсказка
Каждые два ребра, выходящие из вершины A, образуют угол 60°: какие треугольники получаются, если соединить их концы?
Какую долю объёма параллелепипеда составляет пирамида, основание которой — половина грани, а вершина лежит в противоположной грани?
Показать ответ
108√2
Пошаговое решение
- а) Три равносторонних треугольника при вершине A
AB = AD = AA₁ = 6. Треугольники ABD, ABA₁ и ADA₁ — равнобедренные с углом 60° при вершине A, значит, равносторонние: BD = BA₁ = DA₁ = 6.
- а) Вывод
Все шесть рёбер тетраэдра A₁ABD равны 6, поэтому все его грани — правильные треугольники, и A₁ABD — правильный тетраэдр.
- б) Объём правильного тетраэдра
Высота правильного тетраэдра с ребром a равна a√(2/3) (вершина A₁ проецируется в центр грани ABD, расстояние от центра до вершины a/√3, h² = a² − a²/3). Для a = 6: h = 2√6, S(ABD) = 6²·√3/4 = 9√3, V(A₁ABD) = (1/3)·9√3·2√6 = 6√18 = 18√2.
- б) Связь с объёмом параллелепипеда
Пирамида A₁ABD имеет основание ABD — половину ромба ABCD, а высоту — ту же, что и параллелепипед (расстояние от A₁ до плоскости ABCD). Поэтому V(A₁ABD) = (1/3)·(1/2)·S(ABCD)·h = V/6, откуда V = 6·18√2 = 108√2.
- Записываем ответ и проверяем
Ответ: 108√2. Проверка: S(ABCD) = 6²·sin60° = 18√3, высота параллелепипеда 2√6, V = 18√3·2√6 = 36√18 = 108√2. Типичная ошибка — считать параллелепипед прямым и умножать площадь ромба на ребро 6 (получится 108√3).
Ответ: 108√2
Критерии оценивания (3 балла)
- 3
- Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах: в пункте а доказано, что A₁ABD — правильный тетраэдр (треугольники ABD, ABA₁, ADA₁ равносторонние, все шесть рёбер равны 6); в пункте б найден объём тетраэдра 18√2 и обосновано V = 6·V(A₁ABD) (или найдена высота 2√6 и V = S·h) и получен ответ 108√2.
- 2
- Обоснованно получен верный ответ 108√2 в пункте б, ИЛИ имеется верное доказательство пункта а (A₁ABD — правильный тетраэдр) и при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки.
- 1
- Имеется верное доказательство пункта а (A₁ABD — правильный тетраэдр), ИЛИ при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б с использованием утверждения пункта а без его доказательства.
- 0
- Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.