Условие
Решите неравенство (log_2(x+4))(log_2(x+4)−3)/(log_2(x+4)−1) ≤ 0.
Подсказка
Положите t=log_2(x+4) и не забудьте условие x>-4.
Для дроби по t критические значения равны 0, 1, 3.
Показать ответ
(-4; -3] ∪ (-2; 4]
Пошаговое решение
- Правила логарифмов
Для log_a(b) нужны a>0, a≠1 и b>0. Равенство log_a(b)=c означает b=a^c. Сумму логарифмов одного основания можно заменить логарифмом произведения только при положительности обоих аргументов. В неравенстве основание a>1 сохраняет знак, а 0<a<1 меняет его.
- Намечаем ход решения
Положите t=log_2(x+4) и не забудьте условие x>-4. Для дроби по t критические значения равны 0, 1, 3.
- Учитываем ограничения
ОДЗ: x>-4, а знаменатель не равен нулю, поэтому x≠-2.
- Вводим обозначения
Положим t=log_2(x+4).
- Получаем следующий результат
Получаем (t)(t−3)/(t−1)≤0.
- Выполняем преобразование
Критические точки расположены так: 0<1<3.
- Выполняем преобразование
Метод интервалов даёт следующие знаки.
- Выполняем преобразование
При t<0 знаки множителей (−)·(−)/(−), итог минус.
- Выполняем преобразование
При 0<t<1: (+)·(−)/(−), итог плюс.
- Выполняем преобразование
При 1<t<3: (+)·(−)/(+), итог минус.
- Выполняем преобразование
При t>3: (+)·(+)/(+), итог плюс.
- Выполняем преобразование
Нули числителя 0 и 3 включаем, поскольку неравенство нестрогое; полюс 1 исключаем.
- Выполняем преобразование
Поэтому t≤0 или 1<t≤3.
- Выполняем преобразование
Поскольку основание 2>1, возвращаемся к x: 0<x+4≤1 или 2<x+4≤8.
- Выполняем преобразование
Выражаем x: -4<x≤-3 или -2<x≤4.
- Выполняем преобразование
Граница x=-4 исключена из-за логарифма, x=-2 — из-за знаменателя.
Ответ: (-4; -3] ∪ (-2; 4]