Условие
Решите неравенство ((2^x−2^(−3))(2^x−2^2))/(2^x−2^(−1)) ≤ 0.
Подсказка
Положите t=2^x>0: критические значения будут 2^(−3), 2^(−1) и 2^2.
После метода интервалов вернитесь к x и сравните его с -3, -1 и 2; 2^x строго возрастает.
Показать ответ
(−∞; -3] ∪ (-1; 2]
Пошаговое решение
- Намечаем ход решения
Положите t=2^x>0: критические значения будут 2^(−3), 2^(−1) и 2^2. После метода интервалов вернитесь к x и сравните его с -3, -1 и 2; 2^x строго возрастает.
- Вводим обозначения
Положим t=2^x, t>0.
- Выполняем преобразование
Точки 2^(−3), 2^(−1), 2^2 расположены в указанном порядке.
- Выполняем преобразование
Для дроби (t−2^(−3))(t−2^2)/(t−2^(−1)) метод интервалов даёт 0<t≤2^(−3) или 2^(−1)<t≤2^2; значение знаменателя исключается.
- Выполняем преобразование
Функция 2^x строго возрастает, поэтому x≤-3 или -1<x≤2.
Ответ: (−∞; -3] ∪ (-1; 2]