Условие
Решите неравенство (log_(1/2)(x+3)+1)/(log_(1/2)(x+3)−1)≤0.
Подсказка
Сначала учтите x>-3 и log_(1/2)(x+3)≠1, затем введите t=log_(1/2)(x+3).
Метод интервалов даёт −1≤t<1. При основании 1/2<1 обе границы при переходе к аргументу меняют направление.
Показать ответ
(-2,5; -1]
Пошаговое решение
- Правила логарифмов
Для log_a(b) нужны a>0, a≠1 и b>0. Равенство log_a(b)=c означает b=a^c. Сумму логарифмов одного основания можно заменить логарифмом произведения только при положительности обоих аргументов. В неравенстве основание a>1 сохраняет знак, а 0<a<1 меняет его.
- Намечаем ход решения
Сначала учтите x>-3 и log_(1/2)(x+3)≠1, затем введите t=log_(1/2)(x+3). Метод интервалов даёт −1≤t<1. При основании 1/2<1 обе границы при переходе к аргументу меняют направление.
- Учитываем ограничения
ОДЗ: x>-3, причём log_(1/2)(x+3)≠1.
- Вводим обозначения
Положим t=log_(1/2)(x+3).
- Выполняем преобразование
Рациональное неравенство (t+1)/(t−1)≤0 методом интервалов даёт −1≤t<1.
- Выполняем преобразование
Так как основание 1/2 лежит между 0 и 1, из t≥−1 следует x+3≤(1/2)^(−1)=2, а из t<1 следует x+3>(1/2)=1/2.
- Выполняем преобразование
Поэтому -2,5<x≤-1.
Ответ: (-2,5; -1]