Условие
Решите неравенство (log_2((x+4)/(x+2))−1)/(x+1) ≤ 0.
Подсказка
Сначала решите (x+4)/(x+2)>0 и исключите полюс -1.
На луче x>-2 логарифм убывает; отдельно сравните его нуль 0 и полюс -1.
Показать ответ
(-2; -1) ∪ [0; +∞)
Пошаговое решение
- Правила логарифмов
Для log_a(b) нужны a>0, a≠1 и b>0. Равенство log_a(b)=c означает b=a^c. Сумму логарифмов одного основания можно заменить логарифмом произведения только при положительности обоих аргументов. В неравенстве основание a>1 сохраняет знак, а 0<a<1 меняет его.
- Намечаем ход решения
Сначала решите (x+4)/(x+2)>0 и исключите полюс -1. На луче x>-2 логарифм убывает; отдельно сравните его нуль 0 и полюс -1.
- Учитываем ограничения
ОДЗ логарифма: (x+4)/(x+2)>0, то есть x<-4 или x>-2; также x≠-1.
- Выполняем преобразование
Числитель обращается в ноль, когда отношение равно 2; отсюда x=0.
- Выполняем преобразование
На промежутке x<-4 отношение лежит между 0 и 1, поэтому числитель отрицателен, а знаменатель тоже отрицателен — дробь положительна.
- Получаем следующий результат
На луче x>-2 логарифм убывает от +∞ к 0: числитель положителен до 0 и отрицателен после 0. С учётом полюса -1 получаем (-2; -1)∪[0;+∞).
Ответ: (-2; -1) ∪ [0; +∞)