Условие
Решите неравенство log_2((x+3)²−1)≤log_2(49−(x+3)²).
Подсказка
ОДЗ требует одновременно (x+3)²>1 и (x+3)²<49.
Так как 2>1, сравните аргументы. После переноса получится 2(x+3)²≤50=2·5².
Показать ответ
[-8; -4) ∪ (-2; 2]
Пошаговое решение
- Правила логарифмов
Для log_a(b) нужны a>0, a≠1 и b>0. Равенство log_a(b)=c означает b=a^c. Сумму логарифмов одного основания можно заменить логарифмом произведения только при положительности обоих аргументов. В неравенстве основание a>1 сохраняет знак, а 0<a<1 меняет его.
- Намечаем ход решения
ОДЗ требует одновременно (x+3)²>1 и (x+3)²<49. Так как 2>1, сравните аргументы. После переноса получится 2(x+3)²≤50=2·5².
- Учитываем ограничения
ОДЗ: 1<(x+3)²<49, то есть 1<|x+3|<7.
- Выполняем преобразование
Основание 2>1, поэтому сравниваем аргументы: (x+3)²−1≤49−(x+3)².
- Выполняем преобразование
Отсюда 2(x+3)²≤50=2·25, то есть |x+3|≤5.
- Учитываем ограничения
Пересечение с ОДЗ даёт 1<|x+3|≤5, или -8≤x<-4 и -2<x≤2.
Ответ: [-8; -4) ∪ (-2; 2]