Условие
Решите неравенство log_(1/3)(x² + 2x − 8) ≥ −3.
Подсказка
Какое число нужно возвести в степень −3, чтобы получить логарифм по основанию 1/3?
Аргумент должен быть положителен и одновременно удовлетворять неравенству — получится система.
Показать ответ
[−7; −4) ∪ (2; 5]
Пошаговое решение
- Записываем ОДЗ
x² + 2x − 8 > 0. Корни трёхчлена: −4 и 2 (сумма −2, произведение −8), поэтому x < −4 или x > 2.
- Записываем −3 как логарифм
(1/3)^(−3) = 27, значит −3 = log_(1/3) 27. Неравенство: log_(1/3)(x² + 2x − 8) ≥ log_(1/3) 27.
- Переходим к аргументам со сменой знака
Основание 1/3 < 1, функция убывает: x² + 2x − 8 ≤ 27, x² + 2x − 35 ≤ 0, (x + 7)(x − 5) ≤ 0, −7 ≤ x ≤ 5.
- Пересекаем с ОДЗ
Отрезок [−7; 5] без промежутка [−4; 2]: остаются −7 ≤ x < −4 и 2 < x ≤ 5. Точки −4 и 2 выколоты (там аргумент равен 0), точки −7 и 5 входят (аргумент равен 27, выполнено равенство).
- Проверяем и называем типичную ошибку
x = 5: 25 + 10 − 8 = 27, log_(1/3) 27 = −3 — верно. Типичная ошибка — не поменять знак и получить x² + 2x − 8 ≥ 27, то есть x ≤ −7 или x ≥ 5.
Ответ: [−7; −4) ∪ (2; 5]
Критерии оценивания (2 балла)
- 2
- Обоснованно получен ответ [−7; −4) ∪ (2; 5]: найдена ОДЗ x < −4 или x > 2, число −3 записано как log_(1/3) 27, знак изменён из-за основания меньше 1, системы решены и пересечены верно.
- 1
- Ход решения верный, но ответ отличается только граничными точками (например, включены −4 и 2 или исключены −7 и 5), либо допущена одна вычислительная ошибка в корнях квадратных трёхчленов.
- 0
- Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.