Условие
Решите неравенство 2^(2(x+3))−4,5·2^(x+3)+2≤0.
Подсказка
Положите t=2^(x+3); всегда t>0.
Квадратный трёхчлен имеет корни 2^-1 и 2^2; затем используйте монотонность показательной функции.
Показать ответ
[-4; -1]
Пошаговое решение
- Намечаем ход решения
Положите t=2^(x+3); всегда t>0. Квадратный трёхчлен имеет корни 2^-1 и 2^2; затем используйте монотонность показательной функции.
- Вводим обозначения
Введём t=2^(x+3); для любого x выполнено t>0. Исходное неравенство превращается в t²−4,5t+2≤0.
- Выполняем преобразование
По теореме Виета корни квадратного трёхчлена равны 0,5=2^-1 и 4=2^2. Поэтому (t−0,5)(t−4)≤0 и 2^-1≤t≤2^2.
- Получаем следующий результат
Возвращаемся к t=2^(x+3). Так как 2>1, показательная функция строго возрастает: -1≤x+3≤2. Следовательно, -4≤x≤-1; обе границы включены, так как исходный знак нестрогий.
Ответ: [-4; -1]