ЕГЭ, задание 15: Неравенство

После замены t=2^x нельзя забыть t>0.

Сокращение не отменяет запрет t=2.

1. Делаем замену и сохраняем ОДЗ

   Положим t=2^x. Тогда t>0. Знаменатель не равен нулю: t≠2. Получаем (|t−3|−1)/(t−2)≤0.

2. Разбираем 0<t<3

   Модуль равен 3−t, числитель — 2−t=−(t−2). При t≠2 дробь равна −1 и удовлетворяет неравенству. Отсюда 0<t<2 или 2<t<3. Точку t=2 нельзя восстановить после сокращения.

3. Разбираем t≥3

   Теперь числитель t−4, а знаменатель t−2 положителен. Неравенство равносильно t−4≤0, поэтому 3≤t≤4.

4. Объединяем случаи

   Получаем t∈(0;2)∪(2;4]. Точка 3 входит благодаря второму случаю; 4 — ноль числителя, а 2 исключена исходным знаменателем.

5. Возвращаемся к x

   Функция 2^x строго возрастает. Условие 0<2^x<2 даёт x<1. Условие 2<2^x≤4 даёт 1<x≤2. Итак, x∈(−∞;1)∪(1;2].

6. Проверяем критические значения

   При x=1 исходная дробь не определена. При x=2 числитель равен |4−3|−1=0, знаменатель равен 2, значит граница включена.

Ответ: x∈(−∞; 1)∪(1; 2]

2

Корректно рассмотрены оба случая модуля, сохранено ОДЗ и получено полное множество решений.

1

Правильно выбраны замена и оба случая; одна вычислительная ошибка не меняет сути метода.

0

Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.