ЕГЭ, задание 15: Неравенство

Как связаны знаки выражений |a| − |b| и a² − b²?

После замены числителя получится дробь из линейных множителей — решайте её методом интервалов.

1. Записываем ограничения

   Знаменатель не равен нулю: x² − 4 ≠ 0, то есть x ≠ −2 и x ≠ 2. Эти точки будут выколотыми.

2. Заменяем разность модулей выражением того же знака

   Для неотрицательных чисел |a| и |b| разность |a| − |b| имеет тот же знак, что |a|² − |b|² = a² − b², потому что a² − b² = (|a| − |b|)(|a| + |b|), а |a| + |b| > 0 (здесь x − 3 и 2x + 1 одновременно в нуль не обращаются). Нули тоже совпадают. Значит, знак числителя такой же, как у (x − 3)² − (2x + 1)² = (x − 3 − 2x − 1)(x − 3 + 2x + 1) = (−x − 4)(3x − 2).

3. Переходим к рациональному неравенству

   Неравенство равносильно (−x − 4)(3x − 2)/((x − 2)(x + 2)) ≥ 0. Умножаем на −1 и меняем знак: (x + 4)(3x − 2)/((x − 2)(x + 2)) ≤ 0.

4. Решаем методом интервалов

   Точки −4 < −2 < 2/3 < 2: нули числителя −4 и 2/3 закрашены, нули знаменателя ±2 выколоты. При x = 3: (7·7)/(1·5) > 0, на (2; +∞) «+», дальше знаки чередуются: (2/3; 2) «−», (−2; 2/3) «+», (−4; −2) «−», (−∞; −4) «+». Решение: −4 ≤ x < −2 или 2/3 ≤ x < 2.

5. Проверяем по исходной записи и записываем ответ

   x = −3: (6 − 5)/5 = 0,2 ≥ 0 — верно; x = 1: (2 − 3)/(−3) = 1/3 ≥ 0 — верно; x = 0: (3 − 1)/(−4) < 0 — неверно; x = 2/3: |−7/3| − |7/3| = 0 — верно. Ответ: [−4; −2) ∪ [2/3; 2). Типичная ошибка — умножить на −1 и не сменить знак неравенства: получится (−∞; −4] ∪ (−2; 2/3] ∪ (2; +∞).

Ответ: [−4; −2) ∪ [2/3; 2)

2

Обоснованно получен ответ [−4; −2) ∪ [2/3; 2): обосновано, что знак |x − 3| − |2x + 1| совпадает со знаком (x − 3)² − (2x + 1)² (или модули раскрыты на промежутках), учтено x ≠ ±2, метод интервалов для (x + 4)(3x − 2)/((x − 2)(x + 2)) ≤ 0 выполнен верно.

1

Последовательность шагов верна, но ответ отличается от верного только граничными точками (например, включены −2 и 2 или исключены −4 и 2/3), либо получен неверный ответ из-за одной вычислительной ошибки при разложении (x − 3)² − (2x + 1)² на множители.

0

Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.