ЕГЭ, задание 15: Неравенство

При каких x существует log₇(2 − 1/x)? Нужно ли что-то проверять для двух других аргументов?

Замените разность логарифмов логарифмом частного и сравните дроби, перенеся всё в одну часть.

1. Записываем ОДЗ

   2x² + 12 > 0 при всех x; x² − x + 12 > 0 при всех x (дискриминант 1 − 48 < 0, ветви вверх). Остаётся 2 − 1/x > 0, то есть (2x − 1)/x > 0: x < 0 или x > 1/2.

2. Заменяем разность логарифмов логарифмом частного

   Оба аргумента положительны, поэтому log₇(2x² + 12) − log₇(x² − x + 12) = log₇((2x² + 12)/(x² − x + 12)). Основание 7 > 1, знак сохраняется: (2x² + 12)/(x² − x + 12) ≥ (2x − 1)/x.

3. Переносим всё в одну часть

   Общий знаменатель x(x² − x + 12). Числитель: x(2x² + 12) − (2x − 1)(x² − x + 12) = 2x³ + 12x − (2x³ − 3x² + 25x − 12) = 3x² − 13x + 12 = (3x − 4)(x − 3).

4. Решаем методом интервалов

   Множитель x² − x + 12 положителен, поэтому неравенство равносильно (3x − 4)(x − 3)/x ≥ 0. Точки 0 (выколота), 4/3 и 3 (закрашены): при x > 3 «+», на (4/3; 3) «−», на (0; 4/3) «+», при x < 0 «−». Решение: 0 < x ≤ 4/3 или x ≥ 3.

5. Пересекаем с ОДЗ и проверяем

   С условием x < 0 или x > 1/2 остаётся 1/2 < x ≤ 4/3 или x ≥ 3. Проверка x = 3: 30/18 = 5/3 и 2 − 1/3 = 5/3 — равенство; x = 4/3: (140/9)/(112/9) = 5/4 и 2 − 3/4 = 5/4 — равенство. Типичная ошибка — забыть ОДЗ третьего логарифма и ответить (0; 4/3] ∪ [3; +∞): при x = 1/4 выражение log₇(2 − 4) не существует.

Ответ: (0,5; 4/3] ∪ [3; +∞)

2

Обоснованно получен ответ (0,5; 4/3] ∪ [3; +∞): найдена ОДЗ (x < 0 или x > 1/2, остальные аргументы положительны при всех x), разность логарифмов заменена логарифмом частного, неравенство (3x − 4)(x − 3)/x ≥ 0 решено методом интервалов и пересечено с ОДЗ.

1

Последовательность шагов верна и ОДЗ учтена, но ответ отличается от верного только граничными точками (например, включена точка 0,5 или исключены 4/3 и 3), либо получен неверный ответ из-за одной вычислительной ошибки при раскрытии скобок в числителе.

0

Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.