Условие
Решите неравенство |x² − 4| ≥ 3x.
Подсказка
Неравенство |f| ≥ g можно заменить совокупностью двух неравенств без модуля. Нужно ли знать знак g?
Решения двух квадратных неравенств объединяются, а не пересекаются.
Показать ответ
(−∞; 1] ∪ [4; +∞)
Пошаговое решение
- Выбираем равносильный переход
|f| ≥ g ⇔ f ≥ g или f ≤ −g. Переход верен при любом знаке g: если g ≤ 0, то при f ≥ 0 выполнено f ≥ g, а при f < 0 выполнено f ≤ −g, так что обе записи верны при всех таких x. Поэтому знак 3x разбирать не нужно: x² − 4 ≥ 3x или x² − 4 ≤ −3x.
- Решаем первое неравенство совокупности
x² − 3x − 4 ≥ 0, (x + 1)(x − 4) ≥ 0 (корни −1 и 4 по Виета). Ветви вверх, решение вне корней: x ≤ −1 или x ≥ 4.
- Решаем второе неравенство совокупности
x² + 3x − 4 ≤ 0, (x + 4)(x − 1) ≤ 0. Решение между корнями: −4 ≤ x ≤ 1.
- Объединяем решения
Совокупность — это объединение: (−∞; −1] ∪ [−4; 1] ∪ [4; +∞) = (−∞; 1] ∪ [4; +∞).
- Проверяем и записываем ответ
x = 1: |−3| = 3 ≥ 3 — верно; x = 4: 12 ≥ 12 — верно; x = 2: 0 ≥ 6 — неверно; x = −5: 21 ≥ −15 — верно. Ответ: (−∞; 1] ∪ [4; +∞). Типичные ошибки — пересечь решения вместо объединения (получится [−4; −1]) или добавить условие 3x ≥ 0, как для |f| ≤ g, и потерять луч (−∞; 0).
Ответ: (−∞; 1] ∪ [4; +∞)
Критерии оценивания (2 балла)
- 2
- Обоснованно получен ответ (−∞; 1] ∪ [4; +∞): неравенство заменено совокупностью x² − 4 ≥ 3x или x² − 4 ≤ −3x (или модуль раскрыт по случаям знака x² − 4), оба квадратных неравенства решены верно и их решения объединены.
- 1
- Последовательность шагов верна, но ответ отличается от верного только граничными точками 1 или 4 (например, (−∞; 1) ∪ (4; +∞)), либо получен неверный ответ из-за одной вычислительной ошибки в корнях одного из трёхчленов.
- 0
- Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.