ЕГЭ, задание 15: Неравенство

Перенесите всё в левую часть и приведите дроби к общему знаменателю.

После упрощения числитель — разность квадратов с иррациональными корнями.

1. Записываем ограничения и переносим всё влево

   Знаменатели не равны нулю: x ≠ 0, x ≠ 1, x ≠ 3. Умножать на знаменатели нельзя — их знак неизвестен, поэтому переносим: 1/(x − 3) + 1/(x − 1) − 1/x ≥ 0.

2. Приводим к общему знаменателю

   Общий знаменатель x(x − 1)(x − 3). Числитель: x(x − 1) + x(x − 3) − (x − 1)(x − 3) = (x² − x) + (x² − 3x) − (x² − 4x + 3) = x² − 3. Получаем (x² − 3)/(x(x − 1)(x − 3)) ≥ 0.

3. Находим все критические точки

   Числитель x² − 3 = (x − √3)(x + √3) равен нулю при x = ±√3 ≈ ±1,73. Точки по порядку: −√3 < 0 < 1 < √3 < 3. Точки ±√3 закрашены, точки 0, 1, 3 выколоты.

4. Расставляем знаки

   При x = 4: 13/(4·3·1) > 0, на (3; +∞) «+». Пять множителей первой степени, знаки чередуются: (√3; 3) «−», (1; √3) «+», (0; 1) «−», (−√3; 0) «+», (−∞; −√3) «−». Контроль при x = −1: (1 − 3)/((−1)(−2)(−4)) = (−2)/(−8) > 0 — совпадает.

5. Записываем ответ

   x ∈ [−√3; 0) ∪ (1; √3] ∪ (3; +∞). Типичная ошибка — «перемножить крест-накрест» как в уравнении: при отрицательном знаменателе знак неравенства должен меняться, и такой переход теряет промежуток [−√3; 0).

Ответ: [−√3; 0) ∪ (1; √3] ∪ (3; +∞)

2

Обоснованно получен верный ответ: все дроби перенесены в одну часть и приведены к общему знаменателю x(x − 1)(x − 3), числитель x² − 3 найден верно, метод интервалов с пятью точками выполнен без ошибок.

1

Решение доведено до конца с верной последовательностью шагов, но ответ отличается включением выколотых точек 0, 1, 3 или исключением ±√3, либо допущена одна вычислительная ошибка при упрощении числителя.

0

Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.