ЕГЭ, задание 15: Неравенство

Нули выражений под модулями делят прямую на несколько промежутков.

На каждом промежутке пересеките полученное решение с самим промежутком.

1. Находим нули подмодульных выражений

   x − 3 = 0 при x = 3, x + 1 = 0 при x = −1. Рассматриваем три промежутка: x < −1, −1 ≤ x < 3, x ≥ 3.

2. Промежуток x < −1

   Оба выражения отрицательны: |x − 3| = 3 − x, |x + 1| = −x − 1. Неравенство: 3 − x − x − 1 ≤ x + 5, 2 − 2x ≤ x + 5, −3x ≤ 3, x ≥ −1. С условием x < −1 решений нет.

3. Промежуток −1 ≤ x < 3

   |x − 3| = 3 − x, |x + 1| = x + 1, сумма равна 4. Неравенство 4 ≤ x + 5 даёт x ≥ −1 — выполняется на всём промежутке [−1; 3).

4. Промежуток x ≥ 3

   Оба выражения неотрицательны: x − 3 + x + 1 ≤ x + 5, 2x − 2 ≤ x + 5, x ≤ 7. С условием x ≥ 3 получаем [3; 7].

5. Объединяем и проверяем

   [−1; 3) ∪ [3; 7] = [−1; 7]. Проверка границ: x = −1: 4 + 0 = 4 ≤ 4 — верно; x = 7: 4 + 8 = 12 ≤ 12 — верно; x = −2: 5 + 1 = 6 ≤ 3 — неверно. Типичная ошибка — на первом промежутке получить x ≥ −1 и забыть пересечь его с условием x < −1.

Ответ: [−1; 7]

2

Обоснованно получен верный ответ: рассмотрены все три промежутка x < −1, −1 ≤ x < 3, x ≥ 3, на каждом модули раскрыты с верными знаками, решения пересечены с промежутками и объединены в [−1; 7].

1

Все три случая рассмотрены и решение доведено до конца, но ответ отличается от верного только включением или исключением граничной точки, либо в одном случае допущена одна вычислительная ошибка.

0

Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.