Условие
31 декабря заёмщик взял в банке кредит. Схема выплаты такая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет r % на оставшуюся сумму долга, затем заёмщик переводит в банк одинаковый ежегодный платёж. Если платить по 1296 тыс. рублей, кредит будет погашен ровно за 4 года, а если по 2196 тыс. рублей — ровно за 2 года. Найдите r.
Подсказка
Запишите для обоих графиков равенство «кредит, выросший к концу срока, = выросшие платежи».
Разложите q³ + q² + q + 1 на множители и исключите сумму кредита.
Показать ответ
20
Пошаговое решение
- Записываем условия погашения
Пусть кредит S, q = 1 + r/100. За 4 года: Sq⁴ = 1296(q³ + q² + q + 1). За 2 года: Sq² = 2196(q + 1). В каждой сумме ранний платёж умножен на q столько раз, сколько начислений было после него.
- Раскладываем сумму на множители
q³ + q² + q + 1 = q²(q + 1) + (q + 1) = (q + 1)(q² + 1). Первое равенство: Sq⁴ = 1296(q + 1)(q² + 1).
- Исключаем S
Из второго равенства S = 2196(q + 1)/q². Подставляем: 2196(q + 1)q² = 1296(q + 1)(q² + 1). Делим на q + 1 > 0: 2196q² = 1296q² + 1296, 900q² = 1296, q² = 1,44.
- Находим ставку
q > 0, поэтому q = 1,2 и r = 20. Тогда S = 2196·2,2/1,44 = 3355 тыс. руб.
- Проверяем и отмечаем ошибку
2 года: 3355·1,2 − 2196 = 1830, 1830·1,2 = 2196 — погашено. 4 года: 3355 → 2730 → 1980 → 1080 → 1080·1,2 = 1296 — погашено. Типичная ошибка — умножать на q и последний платёж (Sq⁴ = 1296(q⁴ + q³ + q² + q)): последний платёж вносится уже после последнего начисления.
Ответ: 20
Критерии оценивания (2 балла)
- 2
- Обоснованно получен ответ 20: составлены равенства Sq⁴ = 1296(q³ + q² + q + 1) и Sq² = 2196(q + 1), S исключено, получено 900q² = 1296, q = 1,2.
- 1
- Верно составлены оба уравнения погашения для двух графиков, но при исключении S или решении уравнения допущена вычислительная ошибка либо решение не доведено до r.
- 0
- Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.