Условие
Нефтяная платформа находится в море на расстоянии 12 км от прямолинейного берега. Нефтеперерабатывающий завод стоит на берегу в 20 км от ближайшей к платформе точки берега. Трубопровод прокладывают от платформы по прямой до некоторой точки берега, а затем вдоль берега до завода. Прокладка 1 км трубы по морскому дну стоит 5 млн рублей, по суше — 3 млн рублей. Найдите наименьшую стоимость трубопровода. Ответ дайте в миллионах рублей.
Подсказка
Обозначьте расстояние вдоль берега от ближайшей точки до места выхода трубы и выразите длину морской части по теореме Пифагора.
Исследуйте функцию стоимости с помощью производной на отрезке.
Показать ответ
108
Пошаговое решение
- Вводим переменную
Пусть H — ближайшая к платформе точка берега, M — точка выхода трубы на берег, HM = x км, M лежит между H и заводом, 0 ≤ x ≤ 20 (выходить на берег дальше завода или в другую сторону от него невыгодно: обе части трубы только удлиняются). По теореме Пифагора морская часть √(144 + x²) км, сухопутная 20 − x км.
- Составляем функцию стоимости
C(x) = 5√(144 + x²) + 3(20 − x) млн рублей. Производная C′(x) = 5x/√(144 + x²) − 3.
- Находим критическую точку
C′(x) = 0 ⇔ 5x = 3√(144 + x²) ⇔ 25x² = 9x² + 1296 (x ≥ 0) ⇔ 16x² = 1296 ⇔ x = 9. Дробь 5x/√(144 + x²) возрастает по x, поэтому C′ < 0 при x < 9 и C′ > 0 при x > 9: x = 9 — точка минимума.
- Вычисляем наименьшую стоимость
C(9) = 5·√225 + 3·11 = 75 + 33 = 108. Для сравнения концы: C(0) = 5·12 + 3·20 = 120, C(20) = 5√544 ≈ 116,6 — больше.
- Записываем ответ и типичная ошибка
Наименьшая стоимость 108 млн рублей (15 км по морю и 11 км по суше). Типичная ошибка — вести трубу кратчайшим путём к берегу (120 млн) или прямо на завод по дну (≈ 116,6 млн), не исследуя функцию стоимости.
Ответ: 108
Критерии оценивания (2 балла)
- 2
- Обоснованно получен ответ 108: составлена функция стоимости 5√(144 + x²) + 3(20 − x), найдена точка минимума x = 9 с обоснованием (знак производной или сравнение с концами отрезка) и вычислена стоимость.
- 1
- Верно построена модель (функция стоимости с морской частью √(144 + x²) и сухопутной 20 − x), но не обосновано, что x = 9 — точка минимума, или допущена одна вычислительная ошибка.
- 0
- Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.