Условие
Заёмщик взял кредит на 15 месяцев. В начале каждого месяца банк увеличивает остаток долга на 2%, после чего заёмщик вносит платёж. Платежи подобраны так, что после каждого из них долг оказывается на одну и ту же сумму меньше, чем после предыдущего, а после пятнадцатого платежа кредит погашен полностью. Восьмой платёж составил 116 тыс. рублей. Сколько всего тысяч рублей заёмщик заплатит банку за весь срок кредита?
Подсказка
Как меняется выплата от месяца к месяцу, если долг уменьшается равномерно?
Каким по счёту членом последовательности из 15 выплат является восьмая?
Показать ответ
1740
Пошаговое решение
- Записываем выплату k-го месяца
Пусть кредит S тыс. руб. Долг каждый месяц уменьшается на S/15, поэтому в начале k-го месяца проценты начисляются на долг (16 − k)S/15. Выплата k-го месяца: x_k = S/15 + 0,02·(16 − k)S/15 — уменьшение долга плюс проценты на текущий долг.
- Замечаем арифметическую прогрессию
При переходе к следующему месяцу x_k уменьшается на одну и ту же величину 0,02·S/15, значит, x_1, x_2, …, x_15 — арифметическая прогрессия. Восьмой член — средний из пятнадцати: x_1 + x_15 = x_2 + x_14 = … = 2x_8.
- Находим общую сумму выплат
Сумма прогрессии: (x_1 + x_15)·15/2 = 2x_8·15/2 = 15x_8 = 15·116 = 1740 тыс. руб.
- Проверяем через сумму кредита
x_8 = S/15 + 0,02·8S/15 = 1,16S/15 = 116, S = 1500, долг уменьшается на 100 в месяц. Долги перед начислениями 1500, 1400, …, 100, их сумма 12000; проценты 0,02·12000 = 240; всего 1500 + 240 = 1740 — совпадает.
- Отмечаем типичную ошибку
Частая ошибка — начислять проценты восьмого месяца на долг после восьмого уменьшения (7S/15): получится 1,14S/15 = 116 и нецелое S ≈ 1526,3. Другая — ответить суммой кредита 1500, забыв проценты.
Ответ: 1740
Критерии оценивания (2 балла)
- 2
- Обоснованно получен ответ 1740: выплата k-го месяца записана как S/15 + 0,02·(16 − k)S/15, показано, что выплаты образуют арифметическую прогрессию (или из 1,16S/15 = 116 найдено S = 1500) и найдена общая сумма 15·116.
- 1
- Верно построена модель (выплата месяца — уменьшение долга S/15 плюс 2% от долга (16 − k)S/15, составлено уравнение 1,16S/15 = 116), но допущена вычислительная ошибка или общая сумма не найдена.
- 0
- Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.