Условие
В июле 2027 года планируется взять кредит в банке на сумму 1000 тыс. рублей. Каждый январь долг возрастает на 10% по сравнению с концом предыдущего года, а с февраля по июнь вносится один платёж. Кредит гасится за n лет (n — натуральное число) равными ежегодными платежами, после n-го платежа долг равен нулю. Найдите наименьшее n, при котором ежегодный платёж не превысит 300 тыс. рублей.
Подсказка
Выразите долг после n-го платежа через X и сумму геометрической прогрессии.
После упрощения получится неравенство на степень 1,1 — вычислите несколько степеней подряд.
Показать ответ
5
Пошаговое решение
- Выводим уравнение для платежа
Пусть платёж X, q = 1,1. После n лет долг равен 1000qⁿ − X(qⁿ⁻¹ + … + q + 1) = 0 (каждый платёж «проживает» на одно начисление меньше предыдущего).
- Суммируем прогрессию
qⁿ⁻¹ + … + q + 1 = (qⁿ − 1)/(q − 1) = 10(qⁿ − 1). Поэтому X = 1000qⁿ/(10(qⁿ − 1)) = 100qⁿ/(qⁿ − 1).
- Составляем неравенство
100qⁿ/(qⁿ − 1) ≤ 300; при qⁿ > 1 знаменатель положителен: 100qⁿ ≤ 300qⁿ − 300, 200qⁿ ≥ 300, qⁿ ≥ 1,5.
- Оцениваем степени 1,1
1,1² = 1,21; 1,1³ = 1,331; 1,1⁴ = 1,4641 < 1,5; 1,1⁵ = 1,61051 ≥ 1,5. Степень растёт с n, значит, неравенство верно при n ≥ 5, и наименьшее n = 5.
- Проверяем и отмечаем ошибку
При n = 4 платёж 100·1,4641/0,4641 ≈ 315,5 > 300, при n = 5 — 100·1,61051/0,61051 ≈ 263,8 ≤ 300. Типичная ошибка — делить кредит на платёж без процентов: 1000/300 ≈ 3,3 и ответ 4.
Ответ: 5
Критерии оценивания (2 балла)
- 2
- Обоснованно получен ответ 5: выведена формула платежа X = 100·1,1ⁿ/(1,1ⁿ − 1), неравенство X ≤ 300 сведено к 1,1ⁿ ≥ 1,5, показано, что 1,1⁴ < 1,5 ≤ 1,1⁵.
- 1
- Верно составлено уравнение погашения и неравенство для платежа (сведено к 1,1ⁿ ≥ 1,5), но допущена ошибка при вычислении степеней 1,1 или неверно выбрано наименьшее n.
- 0
- Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.