Условие
Предприниматель владеет двумя заводами, выпускающими одинаковые изделия. Если рабочие первого завода трудятся суммарно t² часов в неделю, то за неделю они производят 3t изделий; если рабочие второго завода трудятся суммарно t² часов в неделю, то за неделю они производят 4t изделий. За каждый час работы на первом заводе предприниматель платит рабочему 300 рублей, на втором — 400 рублей. На оплату труда он готов тратить 7 000 000 рублей в неделю. Какое наибольшее количество изделий можно произвести за неделю на двух заводах?
Подсказка
Обозначьте отработанные часы как x² и y²: тогда выпуск линеен по x и y, а бюджет — квадратичен.
Выразите y через x из условия на бюджет и исследуйте выпуск с помощью производной.
Показать ответ
700
Пошаговое решение
- Вводим переменные и составляем модель
Пусть на первом заводе рабочие трудятся x² часов, на втором — y² часов (x, y ≥ 0). Тогда выпуск N = 3x + 4y изделий, а оплата труда 300x² + 400y² ≤ 7 000 000, то есть 3x² + 4y² ≤ 70 000. Деньги выгодно тратить полностью: дополнительные часы только увеличивают выпуск. Поэтому 3x² + 4y² = 70 000.
- Сводим к функции одной переменной
Из ограничения 4y² = 70 000 − 3x², y = √(70 000 − 3x²)/2, где 0 ≤ x ≤ √(70 000/3). Выпуск N(x) = 3x + 2√(70 000 − 3x²).
- Находим точку максимума
N′(x) = 3 + 2·(−6x)/(2√(70 000 − 3x²)) = 3 − 6x/√(70 000 − 3x²). N′ = 0 ⇔ √(70 000 − 3x²) = 2x ⇔ 70 000 − 3x² = 4x² ⇔ x² = 10 000, x = 100. При x < 100 дробь 6x/√(70 000 − 3x²) меньше 3 и N′ > 0, при x > 100 — больше 3 и N′ < 0: x = 100 — точка максимума.
- Вычисляем наибольший выпуск
x = 100: на первом заводе 10 000 часов. Тогда 4y² = 70 000 − 30 000 = 40 000, y = 100, на втором заводе тоже 10 000 часов. N = 3·100 + 4·100 = 700. Проверка бюджета: 300·10 000 + 400·10 000 = 7 000 000 рублей.
- Сравниваем с крайними планами и записываем ответ
Если работает только второй завод: y² = 17 500, y ≈ 132,3, N ≈ 529; только первый: x² ≈ 23 333, x ≈ 152,8, N ≈ 458 — меньше 700. Типичная ошибка — отдать весь бюджет «более производительному» второму заводу или разделить деньги поровну (тогда N ≈ 698, а не наибольшее значение).
Ответ: 700
Критерии оценивания (2 балла)
- 2
- Обоснованно получен ответ 700: составлены выпуск 3x + 4y и бюджетное условие 300x² + 400y² = 7 000 000, найдена точка максимума x = y = 100 (производной или неравенством) и показано, что это наибольшее значение выпуска.
- 1
- Верно построена математическая модель (выпуск 3x + 4y при условии 300x² + 400y² = 7 000 000 сведён к функции одной переменной), но не обосновано, что найдена точка максимума, или допущена одна вычислительная ошибка при нахождении x = 100 или выпуска.
- 0
- Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.