Условие
Завод должен за год выпустить и отгрузить заказчику 4200 одинаковых станков. Станки выпускают n равными партиями в год (n — натуральное число, 4200 делится на n). Перед выпуском каждой партии линию переналаживают, одна переналадка стоит 160 тыс. рублей. Готовые станки хранятся на складе до отгрузки; в среднем на складе находится половина партии, а хранение одного станка в течение года стоит 3 тыс. рублей. Найдите наименьшие годовые затраты на переналадку и хранение. Ответ дайте в тысячах рублей.
Подсказка
Выразите затраты на хранение через размер партии 4200/n и средний запас.
Функция вида an + b/n убывает, а затем возрастает — сравните значения в соседних натуральных точках у минимума.
Показать ответ
2010
Пошаговое решение
- Составляем функцию затрат
При n партиях размер партии 4200/n станков, средний запас 2100/n, хранение за год 3·2100/n = 6300/n тыс. рублей. Переналадка 160n тыс. рублей. Затраты C(n) = 160n + 6300/n.
- Исследуем функцию на всей полуоси
Для x > 0 рассмотрим C(x) = 160x + 6300/x: C′(x) = 160 − 6300/x². C′ = 0 при x² = 6300/160 = 39,375, x ≈ 6,27. При меньших x функция убывает, при больших — возрастает. Значит, наименьшее значение при натуральном n достигается при n = 6 или n = 7.
- Сравниваем соседние натуральные значения
C(6) = 960 + 1050 = 2010; C(7) = 1120 + 900 = 2020. Оба числа делят 4200. Наименьшее — 2010 при n = 6 (партии по 700 станков).
- Проверяем
Для контроля: C(5) = 800 + 1260 = 2060, C(8) = 1280 + 787,5 = 2067,5 — больше. Нижняя оценка по неравенству о средних: 160n + 6300/n ≥ 2√(160·6300) ≈ 2007,98, так что 2010 близко к ней.
- Записываем ответ и типичная ошибка
Наименьшие затраты 2010 тыс. рублей при 6 партиях. Типичная ошибка — считать хранение по целой партии (12 600/n вместо 6300/n) или подставлять нецелое n ≈ 6,27 вместо сравнения соседних значений.
Ответ: 2010
Критерии оценивания (2 балла)
- 2
- Обоснованно получен ответ 2010: составлены затраты 160n + 6300/n, найден минимум непрерывной функции при x ≈ 6,27 и сравнены значения C(6) и C(7) с учётом натуральности n.
- 1
- Верно построена модель (переналадка 160n и хранение 3·2100/n), но выбор n = 6 не обоснован исследованием функции или допущена одна вычислительная ошибка при вычислении затрат.
- 0
- Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.