Условие
Со склада нужно вывезти не менее 128 тонн груза. У транспортной компании есть 12 грузовиков первого типа грузоподъёмностью 6 т и 10 грузовиков второго типа грузоподъёмностью 10 т; каждый грузовик может сделать только один рейс. Рейс грузовика первого типа стоит 5 тыс. рублей, второго типа — 9 тыс. рублей. Какова наименьшая стоимость перевозки? Ответ дайте в тысячах рублей.
Подсказка
Запишите условие на массу груза и стоимость через число грузовиков каждого типа.
Для каждого возможного числа больших грузовиков найдите наименьшее нужное число малых.
Показать ответ
112
Пошаговое решение
- Составляем модель
Пусть заказано a грузовиков первого типа и b второго, a и b — целые, 0 ≤ a ≤ 12, 0 ≤ b ≤ 10. Условие: 6a + 10b ≥ 128. Стоимость S = 5a + 9b тыс. рублей — её нужно сделать наименьшей.
- Почему «самые дешёвые за тонну» не решают задачу
Тонна на первом типе стоит 5/6 ≈ 0,83 тыс. руб., на втором — 0,9 тыс. руб. Если взять все 12 малых (72 т), останется 56 т и нужно b ≥ 5,6, то есть 6 больших: S = 60 + 54 = 114, но 4 т грузоподъёмности пропадают. Из-за целочисленности нужно перебрать варианты.
- Перебираем число больших грузовиков
При данном b берём наименьшее a ≥ (128 − 10b)/6. b ≤ 5: нужно a ≥ 78/6 = 13 > 12 — невозможно. b = 6: a = 12, S = 114; b = 7: a ≥ 58/6, a = 10, S = 50 + 63 = 113; b = 8: a ≥ 48/6 = 8, S = 40 + 72 = 112; b = 9: a ≥ 38/6, a = 7, S = 35 + 81 = 116; b = 10: a ≥ 28/6, a = 5, S = 25 + 90 = 115.
- Выбираем наименьшую стоимость
Наименьшее значение S = 112 при a = 8, b = 8: 6·8 + 10·8 = 128 т — груз вывозится без недогруза.
- Записываем ответ и типичная ошибка
Наименьшая стоимость 112 тыс. рублей. Типичная ошибка — сначала занять все грузовики, дешёвые за тонну, и получить 114: при целом числе рейсов важна не цена тонны, а отсутствие пустой грузоподъёмности.
Ответ: 112
Критерии оценивания (2 балла)
- 2
- Обоснованно получен ответ 112: составлена модель 6a + 10b ≥ 128, 5a + 9b → min с ограничениями a ≤ 12, b ≤ 10, выполнен полный перебор по b (или иное строгое обоснование) и найдено наименьшее значение при a = b = 8.
- 1
- Верно построена модель с целыми a и b и ограничениями парка, но перебор неполный (например, взяты все 12 малых грузовиков и получено 114) или допущена одна вычислительная ошибка.
- 0
- Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.