Условие
У фермера два поля: первое площадью 10 га, второе — 15 га. На каждом поле можно выращивать картофель и свёклу, деля поле между этими культурами в любой пропорции. Урожайность картофеля на первом поле 300 ц/га, на втором — 400 ц/га; урожайность свёклы на первом поле 500 ц/га, на втором — 400 ц/га. Картофель продаётся по 1200 рублей за центнер, свёкла — по 1000 рублей за центнер, но сахарный завод купит не более 4000 ц свёклы, а остальную свёклу продать нельзя. Какой наибольший доход может получить фермер? Ответ дайте в тысячах рублей.
Подсказка
Посчитайте, сколько тысяч рублей даёт гектар каждой культуры на каждом поле.
Обозначьте площади под свёклой на двух полях и запишите доход как линейную функцию с ограничением на сбыт.
Показать ответ
11920
Пошаговое решение
- Сравниваем доход с гектара
Первое поле: картофель 300·1,2 = 360 тыс. руб./га, свёкла 500·1 = 500 тыс. руб./га. Второе поле: картофель 400·1,2 = 480 тыс. руб./га, свёкла 400 тыс. руб./га. Без ограничения первое поле засеяли бы свёклой, второе — картофелем, но тогда свёклы 10·500 = 5000 ц, а завод купит только 4000 ц.
- Составляем модель
Пусть свёклой засеяно a га первого поля и b га второго. Выращивать непроданную свёклу невыгодно: эту землю лучше отдать под картофель, поэтому 500a + 400b ≤ 4000. Доход в тысячах рублей: D = 1,2(300(10 − a) + 400(15 − b)) + 500a + 400b = 3600 + 7200 + 140a − 80b = 10 800 + 140a − 80b.
- Находим наибольшее значение
Коэффициент при b отрицателен, значит, b = 0: на втором поле свёклу не сеют. Коэффициент при a положителен, поэтому a берём наибольшим: 500a ≤ 4000, a ≤ 8 (и a ≤ 10). При a = 8: D = 10 800 + 1120 = 11 920.
- Проверяем план
Первое поле: 8 га свёклы (4000 ц, 4000 тыс. руб.) и 2 га картофеля (600 ц); второе поле — картофель 15·400 = 6000 ц. Картофеля 6600 ц на 6600·1,2 = 7920 тыс. руб. Итого 4000 + 7920 = 11 920 тыс. руб.
- Записываем ответ и типичная ошибка
Наибольший доход 11 920 тыс. рублей. Типичная ошибка — засеять всё первое поле свёклой и посчитать доход за все 5000 ц (получится 5000 + 7200 = 12 200 тыс. руб.), хотя 1000 ц свёклы не будут проданы; другая — сеять свёклу на втором поле, хотя там гектар свёклы даёт 400 тыс. руб., а гектар картофеля — 480 тыс. руб.
Ответ: 11920
Критерии оценивания (2 балла)
- 2
- Обоснованно получен ответ 11920: составлена линейная функция дохода 10 800 + 140a − 80b с учётом ограничения 500a + 400b ≤ 4000, обосновано, что b = 0 и a = 8, и вычислен наибольший доход.
- 1
- Верно построена модель (доход через площади a и b под свёклой и ограничение на сбыт 4000 ц), но допущена одна вычислительная ошибка или не обосновано, почему свёклу не сеют на втором поле.
- 0
- Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.