Условие
Трапеция ABCD с основаниями AB=6 и CD=4 вписана в окружность. Высота трапеции равна 12. а) Докажите, что трапеция равнобедренная. б) Найдите радиус описанной окружности.
Подсказка
Шаг 1 для варианта 1: Сравните ∠A и ∠B, используя AB∥CD и свойство противоположных углов вписанного четырёхугольника.
Шаг 2 для варианта 1: Проведите ось симметрии оснований. Приравняйте квадраты расстояний от центра окружности до A и C; полуразность оснований равна 1.
Показать ответ
13√145/24
Пошаговое решение
- Намечаем ход решения
Сравните ∠A и ∠B, используя AB∥CD и свойство противоположных углов вписанного четырёхугольника. Проведите ось симметрии оснований. Приравняйте квадраты расстояний от центра окружности до A и C; полуразность оснований равна 1.
- Пункт а
а) Из AB∥CD следует ∠A+∠D=180°. У вписанного четырёхугольника ∠B+∠D=180°, поэтому ∠A=∠B.
- Выполняем преобразование
Значит, трапеция равнобедренная.
- Пункт б
б) Полусумма оснований равна 5, полуразность — 1.
- Вводим обозначения
Пусть O — центр окружности, x — направленное расстояние от O до AB.
- Выполняем преобразование
Тогда расстояние до CD равно 12−x.
- Выполняем преобразование
Из OA²=OC²: (6/2)²+x²=(4/2)²+(12−x)².
- Выполняем преобразование
После сокращения x=(12²−5·1)/(2·12).
- Получаем следующий результат
Подстановка в R²=(6/2)²+x² даёт R²=169·145/(4·144), следовательно, R=13√145/24.
Ответ: 13√145/24