Условие
В равнобедренном треугольнике ABC стороны AC=BC=13, основание AB=10; CM — медиана. O и I — центры описанной и вписанной окружностей. а) Докажите, что O и I лежат на прямой CM. б) Найдите расстояние OI.
Подсказка
Шаг 1 для варианта 4: Докажите равенство треугольников ACM и BCM и перечислите свойства медианы CM.
Шаг 2 для варианта 4: Найдите отдельно MI=S/s и направленное расстояние OM из равенства OA=OC; затем вычислите |OM−MI|.
Показать ответ
1,625
Пошаговое решение
- Намечаем ход решения
Докажите равенство треугольников ACM и BCM и перечислите свойства медианы CM. Найдите отдельно MI=S/s и направленное расстояние OM из равенства OA=OC; затем вычислите |OM−MI|.
- Пункт а
а) Треугольники ACM и BCM равны по трём сторонам.
- Выполняем преобразование
Поэтому CM является одновременно высотой, биссектрисой и серединным перпендикуляром к AB.
- Выполняем преобразование
На нём лежат и O, и I.
- Пункт б
б) AM=5, CM=√(13²−5²)=12.
- Выполняем преобразование
Радиус вписанной окружности MI=S/s=60/(13+5)=10/3.
- Выполняем преобразование
Если OM=y, то OA²=OC² даёт 5²+y²=(12−y)², откуда y=119/24.
- Получаем следующий результат
Следовательно, OI=|OM−MI|=1,625.
Ответ: 1,625