Задание 17 ЕГЭ: Планиметрическая задача

1. Задача 1Трапеция ABCD с основаниями AB=6 и CD=4 вписана в окружность. Высота трапеции равна 12. а) Докажите, что трапеция равнобедренная. б) Найдите радиус описанной…
2. Задача 2Из точки P проведены касательные PA и PB к окружности с центром O. OP=13, радиус окружности равен 5. а) Докажите, что OP перпендикулярна хорде AB. б) Найдите…
3. Задача 3В параллелограмме ABCD из вершины B опущены перпендикуляры BP на прямую AD и BQ на прямую CD. Известно, что AP=5, BP=12, AD=26. а) Докажите подобие…
4. Задача 4В равнобедренном треугольнике ABC стороны AC=BC=13, основание AB=10; CM — медиана. O и I — центры описанной и вписанной окружностей. а) Докажите, что O и I…
5. Задача 5Прямоугольник ABCD со сторонами AB=9 и BC=12 вписан в окружность. а) Докажите, что диагональ AC является диаметром окружности. б) Найдите радиус окружности,…
6. Задача 6В равнобедренном треугольнике ABC стороны AC=BC=13, основание AB=10; CM — медиана. Окружность с центром J касается стороны AB и продолжений AC и BC. а)…
7. Задача 7Из точки P к окружности с центром O проведены касательные PA и PB. OP=13, OA=5. а) Докажите, что OP делит хорду AB пополам, и найдите расстояние от O до AB.…
8. Задача 8В треугольнике ABC угол A равен 120°, AA₁, BB₁ и CC₁ — биссектрисы. а) Докажите, что угол B₁A₁C₁ прямой. б) Найдите радиус окружности, описанной около…
9. Задача 9В треугольнике ABC угол B в два раза больше угла A. а) Докажите, что AC² = BC·(BC + AB). б) Найдите угол A, если BC = 9, AB = 7.
10. Задача 10В равнобедренной трапеции ABCD основания AB=7 и CD=3, высота равна 12. Диагонали AC и BD пересекаются в точке O. а) Докажите, что S(AOB)/S(COD)=(AB/CD)². б)…
11. Задача 11В выпуклом вписанном четырёхугольнике ABCD известны AB=2, BC=2, CD=3, AD=4, AC=3,5. а) Докажите для этого четырёхугольника соотношение AC·BD=AB·CD+BC·AD. б)…
12. Задача 12Из вершины A треугольника ABC на биссектрисы углов B и C опущены перпендикуляры AP и AQ. а) Докажите, что прямые PQ и BC параллельны. б) Найдите площадь…
13. Задача 13В треугольнике ABC проведена биссектриса AD. Окружность проходит через вершину A, касается стороны BC в точке D и пересекает стороны AB и AC в точках P и Q.…
14. Задача 14Диагонали трапеции ABCD с основаниями AD и BC перпендикулярны. Точки M и N — середины оснований AD и BC соответственно. а) Докажите, что MN = (AD + BC)/2. б)…
15. Задача 15Четырёхугольник ABCD описан около окружности, AB = BC = 13, CD = 20, диагональ AC = 24. а) Докажите, что диагональ BD перпендикулярна AC и делит её пополам.…
16. Задача 16В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом C проведена высота CH. Окружности с центрами O₁ и O₂ и радиусами r₁ и r₂ вписаны в треугольники ACH и BCH…
17. Задача 17В остроугольном треугольнике ABC проведена высота AH, точка O — центр окружности, описанной около этого треугольника. а) Докажите, что ∠BAH = ∠OAC. б) Найдите…
18. Задача 18Диагонали выпуклого четырёхугольника ABCD перпендикулярны, их сумма равна 34, а площадь четырёхугольника равна 120. Точки K, L, M и N — середины сторон AB,…
19. Задача 19В трапеции ABCD основание AD больше основания BC. Средняя линия MN (M лежит на AB, N — на CD) пересекает диагонали BD и AC в точках P и Q соответственно. а)…
20. Задача 20На сторонах AB и BC треугольника ABC отмечены точки K и L так, что AK : KB = 2 : 3 и BL : LC = 4 : 1. Прямая KL пересекает прямую AC в точке P. а) Докажите,…
21. Задача 21В треугольнике ABC AB=13, AC=15, BC=14. Биссектриса угла A пересекает BC в D и повторно пересекает описанную окружность в E. а) Докажите, что EB=EC. б)…
22. Задача 22Трапеция ABCD с основаниями AD и BC описана около окружности радиуса r. Окружность касается боковой стороны AB в точке K, причём AK = 9, KB = 4, а другая…
23. Задача 23Вписанная окружность треугольника ABC касается стороны AC в точке D. Окружности с центрами O₁ и O₂ вписаны в треугольники ABD и CBD соответственно. а)…
24. Задача 24Четырёхугольник ABCD описан около окружности с центром O. Известно, что OA = 5, OB = 6, OC = 4, OD = 9. а) Докажите, что ∠AOB + ∠COD = 180°. б) Найдите…
25. Задача 25В прямоугольнике ABCD стороны AB = 6 и AD = 10. На стороне BC выбрана точка M так, что отрезок DM является биссектрисой угла AMC. а) Докажите, что AM = AD. б)…
26. Задача 26Три окружности вписаны в угол с вершиной S (каждая касается обеих сторон угла). Первая окружность касается второй внешним образом, вторая — третьей, вторая…
27. Задача 27Окружность проходит через вершины A и D прямоугольника ABCD и касается стороны BC в точке M. Сторона AB пересекает окружность ещё в точке K. а) Докажите, что…
28. Задача 28Касательные к окружности радиуса 15, проведённые в точках A и B, перпендикулярны и пересекаются в точке P. Точка C лежит на меньшей дуге AB, расстояния от C…
29. Задача 29Из точки P проведены касательные PA и PB к окружности (A и B — точки касания). Прямая, проходящая через P, пересекает окружность в точках C и D, причём C…
30. Задача 30Около треугольника ABC с острым углом A описана окружность радиуса 10, BC = 16. Биссектриса угла A пересекает эту окружность в точке W, точка I — центр…
31. Задача 31Точки A, B, C, D лежат на окружности в указанном порядке. Хорды AC и BD пересекаются в точке E, угол AEB равен 120°. а) Докажите, что угол AEB равен полусумме…
32. Задача 32Площадь ромба ABCD равна 60, а его сторона равна 10. Вписанная в ромб окружность касается сторон AB, BC, CD и DA в точках K, L, M и N соответственно. а)…
33. Задача 33Четырёхугольник ABCD вписан в окружность с центром O, его диагонали AC и BD перпендикулярны и пересекаются в точке P. а) Докажите, что расстояние от точки O…
34. Задача 34Касательная к окружности, описанной около треугольника ABC, проведённая в точке A, пересекает прямую BC в точке P. а) Докажите, что PB : PC = AB² : AC². б)…
35. Задача 35На сторонах BC и CD квадрата ABCD отмечены точки M и N так, что угол MAN равен 45°. Известно, что BM = 4, DN = 6. а) Докажите, что MN = BM + DN. б) Найдите…
36. Задача 36Окружность касается диаметра AB полуокружности в точке C и касается дуги полуокружности в точке K. а) Докажите, что KC — биссектриса угла AKB. б) Найдите AK,…
37. Задача 37Медианы AA₁ и BB₁ треугольника ABC пересекаются в точке M. Известно, что точки A₁, B₁, C и M лежат на одной окружности. а) Докажите, что AC² + BC² = 2·AB². б)…
38. Задача 38Вписанная окружность треугольника ABC касается сторон BC, CA и AB в точках A₁, B₁ и C₁ соответственно. а) Докажите, что отрезки AA₁, BB₁ и CC₁ пересекаются в…
39. Задача 39Окружности с центрами O₁ и O₂ радиусов 11 и 4 лежат одна вне другой. Их общая внутренняя касательная касается окружностей в точках A и B и пересекает отрезок…
40. Задача 40В треугольнике ABC стороны AB=13, AC=15, BC=14. Биссектриса внешнего угла при A пересекает прямую BC в D. а) Докажите, что BD:CD=13:15, и определите…
41. Задача 41Точка H — точка пересечения высот остроугольного треугольника ABC, O — центр окружности, описанной около этого треугольника, M — середина стороны BC. а)…
42. Задача 42Площадь параллелограмма ABCD равна 48. Точка K лежит на стороне BC, причём BK : KC = 1 : 2, точка L — середина стороны CD. Отрезки AK и AL пересекают…
43. Задача 43Окружности с центрами O₁ и O₂ радиусов 10 и 17 пересекаются в точках A и B, O₁O₂ = 21. Отрезки BC и BD — диаметры первой и второй окружностей. а) Докажите,…
44. Задача 44В треугольнике ABC точки D и E лежат на сторонах BC и CA, BD:DC=2:3, CE:EA=3:4. AD и BE пересекаются в P. Прямая CP пересекает AB в F, AB=3. а) Докажите, что…
45. Задача 45Окружность, построенная на стороне BC остроугольного треугольника ABC как на диаметре, пересекает стороны AB и AC в точках K и L соответственно. а) Докажите,…
46. Задача 46В параллелограмме ABCD стороны AB = 5 и AD = 9, угол BAD равен 60°. Биссектрисы углов A и B пересекаются в точке K, углов B и C — в точке L, углов C и D — в…
47. Задача 47Две окружности одинакового радиуса пересекаются в точках A и B. Их общая касательная касается окружностей в точках P и Q, причём точка A ближе к прямой PQ,…
48. Задача 48Окружности радиусов 9 и 4 касаются внешним образом в точке K. Общая внешняя касательная касается первой окружности в точке A, а второй — в точке B. а)…

Другие номера: №1 · №2 · №3 · №4 · №5 · №6 · №7 · №8 · №9 · №10 · №11 · №12 · №13 · №14 · №15 · №16 · №18 · №19