Условие
В параллелограмме ABCD из вершины B опущены перпендикуляры BP на прямую AD и BQ на прямую CD. Известно, что AP=5, BP=12, AD=26. а) Докажите подобие треугольников ABP и BCQ. б) Найдите радиус окружности, описанной около треугольника BPQ.
Подсказка
Шаг 1 для варианта 3: В треугольниках ABP и BCQ есть прямые углы; вторую пару углов получите из параллельности противоположных сторон параллелограмма.
Шаг 2 для варианта 3: Найдите AB=13, затем BQ по подобию. После теоремы косинусов примените R=PQ/(2sin∠PBQ).
Показать ответ
3√65/2
Пошаговое решение
- Намечаем ход решения
В треугольниках ABP и BCQ есть прямые углы; вторую пару углов получите из параллельности противоположных сторон параллелограмма. Найдите AB=13, затем BQ по подобию. После теоремы косинусов примените R=PQ/(2sin∠PBQ).
- Пункт а
а) ∠APB=∠BQC=90°.
- Выполняем преобразование
Кроме того, ∠BAP=∠BCQ, так как AP∥BC, а CQ∥AB.
- Используем подобие
Следовательно, треугольники ABP и BCQ подобны по двум углам.
- Пункт б
б) AB=√(5²+12²)=13, BC=AD=26.
- Выполняем преобразование
Из подобия BQ/BP=BC/AB=2, поэтому BQ=24.
- Выполняем преобразование
Угол PBQ равен ∠BAP, значит cos∠PBQ=5/13, sin∠PBQ=12/13.
- Выполняем преобразование
По теореме косинусов PQ²=12²+24²−2·12·24·5/13.
- Выполняем преобразование
По расширенной теореме синусов R=PQ/(2sin∠PBQ)=√585/2=3√65/2.
Ответ: 3√65/2