Условие
В равнобедренном треугольнике ABC стороны AC=BC=13, основание AB=10; CM — медиана. Окружность с центром J касается стороны AB и продолжений AC и BC. а) Докажите, что J лежит на прямой CM. б) Найдите радиус этой вневписанной окружности.
Подсказка
Шаг 1 для варианта 6: Сравните треугольники ACM и BCM; ось симметрии переводит внешнюю биссектрису при A во внешнюю биссектрису при B.
Шаг 2 для варианта 6: Для вневписанной окружности напротив вершины C используйте r₍c₎=S/(s−AB).
Показать ответ
7,5
Пошаговое решение
- Намечаем ход решения
Сравните треугольники ACM и BCM; ось симметрии переводит внешнюю биссектрису при A во внешнюю биссектрису при B. Для вневписанной окружности напротив вершины C используйте r₍c₎=S/(s−AB).
- Пункт а
а) Треугольники ACM и BCM равны по трём сторонам, поэтому CM — ось симметрии треугольника.
- Выполняем преобразование
Центр J лежит на внешних биссектрисах углов A и B; эти биссектрисы переходят друг в друга при отражении относительно CM.
- Выполняем преобразование
Их точка пересечения неподвижна, значит, J∈CM.
- Пункт б
б) CM=√(13²−5²)=12, S=10·12/2=60, полупериметр s=13+5.
- Выполняем преобразование
Для вневписанной окружности напротив C: r₍c₎=S/(s−AB)=60/(13+5−10)=60/(13−5)=7,5.
Ответ: 7,5