Условие
Из точки P проведены касательные PA и PB к окружности с центром O. OP=13, радиус окружности равен 5. а) Докажите, что OP перпендикулярна хорде AB. б) Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник PAB.
Подсказка
Шаг 1 для варианта 2: Сравните прямоугольные треугольники OAP и OBP по гипотенузе и катету.
Шаг 2 для варианта 2: Сначала найдите PA, затем OM и AM из подобия OMA и OPA. Для треугольника PAB используйте r=S/s.
Показать ответ
40/13
Пошаговое решение
- Намечаем ход решения
Сравните прямоугольные треугольники OAP и OBP по гипотенузе и катету. Сначала найдите PA, затем OM и AM из подобия OMA и OPA. Для треугольника PAB используйте r=S/s.
- Пункт а
а) OA⊥PA и OB⊥PB.
- Выполняем преобразование
Прямоугольные треугольники OAP и OBP равны по общей гипотенузе OP и катетам OA=OB.
- Выполняем преобразование
Поэтому O и P равноудалены от A и B, то есть OP — серединный перпендикуляр к AB.
- Пункт б
б) PA=√(13²−5²)=12.
- Вводим обозначения
Пусть M=OP∩AB.
- Получаем следующий результат
Из подобия OMA и OPA получаем OM=25/13, AM=60/13.
- Выполняем преобразование
Тогда AB=2·60/13, PM=144/13.
- Выполняем преобразование
Площадь равна AB·PM/2, а полупериметр равен PA+AB/2.
- Выполняем преобразование
Поэтому r=S/s=5(13−5)/13=40/13.
Ответ: 40/13