Условие
Из вершины A треугольника ABC на биссектрисы углов B и C опущены перпендикуляры AP и AQ. а) Докажите, что прямые PQ и BC параллельны. б) Найдите площадь треугольника APQ, если AB = 17, AC = 25, BC = 28.
Подсказка
Продолжите перпендикуляр AP до пересечения с прямой BC. Какой получится треугольник?
Точки P и Q — середины отрезков с общим концом A. Как это связано со средней линией?
Показать ответ
105/4
Пошаговое решение
- а) Продолжаем перпендикуляр AP
Пусть прямая AP пересекает прямую BC в точке A₁. В треугольнике ABA₁ отрезок BP — биссектриса и высота, поэтому треугольник равнобедренный: BA₁ = BA, а P — середина AA₁ (высота равнобедренного треугольника является медианой).
- а) Средняя линия
Так же прямая AQ пересекает BC в точке A₂, CA₂ = CA и Q — середина AA₂. Значит, PQ — средняя линия треугольника AA₁A₂: PQ ∥ A₁A₂, то есть PQ ∥ BC, и PQ = A₁A₂/2.
- б) Положение точек A₁ и A₂
BA₁ = AB = 17 < 28 и CA₂ = AC = 25 < 28, поэтому обе точки лежат на отрезке BC, а отрезки BA₁ и CA₂ перекрываются: A₁A₂ = BA₁ + CA₂ − BC = 17 + 25 − 28 = 14, PQ = 7.
- б) Расстояние от A до PQ
По формуле Герона p = 35, S(ABC) = √(35·18·10·7) = 210, высота из A: h = 2·210/28 = 15. Средняя линия PQ делит эту высоту пополам, расстояние от A до PQ равно 15/2.
- б) Площадь и проверка
S(APQ) = (1/2)·7·(15/2) = 105/4. Проверка: треугольник APQ подобен треугольнику AA₁A₂ с коэффициентом 1/2, S(AA₁A₂) = (1/2)·14·15 = 105, четверть этого числа — 105/4. Типичная ошибка — считать PQ половиной BC, то есть 14.
Ответ: 105/4
Критерии оценивания (3 балла)
- 3
- Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах: в пункте а продолжены AP и AQ до BC, доказано, что P и Q — середины AA₁ и AA₂ (равнобедренные треугольники), и PQ — средняя линия; в пункте б обосновано расположение A₁, A₂ на BC и найдено A₁A₂ = 14, найдены площадь 210 и высота 15, получен ответ 105/4.
- 2
- Обоснованно получен верный ответ 105/4 в пункте б, ИЛИ имеется верное доказательство пункта а (PQ ∥ BC) и при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки.
- 1
- Имеется верное доказательство пункта а (PQ ∥ BC), ИЛИ при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен ответ 105/4 в пункте б с использованием утверждения пункта а без его доказательства.
- 0
- Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.