Условие
В выпуклом вписанном четырёхугольнике ABCD известны AB=2, BC=2, CD=3, AD=4, AC=3,5. а) Докажите для этого четырёхугольника соотношение AC·BD=AB·CD+BC·AD. б) Найдите BD.
Подсказка
Шаг 1 для варианта 11: Отложите на диагонали AC точку K так, чтобы ∠ABK=∠CBD, и найдите две пары подобных треугольников.
Шаг 2 для варианта 11: После доказательства подставьте пять известных длин в формулу Птолемея.
Показать ответ
4
Пошаговое решение
- Намечаем ход решения
Отложите на диагонали AC точку K так, чтобы ∠ABK=∠CBD, и найдите две пары подобных треугольников. После доказательства подставьте пять известных длин в формулу Птолемея.
- Пункт а
а) Выберем K на AC так, что ∠ABK=∠CBD.
- Выполняем преобразование
Тогда ∠BAK=∠BDC как вписанные, опирающиеся на дугу BC, поэтому ABK∼DBC.
- Выполняем преобразование
Аналогично BKC∼BAD.
- Получаем следующий результат
Из пропорций этих пар получаем AK·BD=AB·CD и KC·BD=BC·AD.
- Получаем следующий результат
Складывая и учитывая AK+KC=AC, получаем AC·BD=AB·CD+BC·AD.
- Пункт б
б) BD=(2·3+2·4)/3,5=4.
Ответ: 4