ЕГЭ, задание 17: Планиметрическая задача

Сравните угол между касательной BC и хордой DP с вписанными углами, опирающимися на дуги DP и DQ.

Для точки B запишите свойство касательной и секущей.

1. а) Угол между касательной и хордой

   Угол между касательной BC и хордой DP равен вписанному углу, опирающемуся на дугу DP: ∠BDP = ∠DAP = ∠BAC/2, так как AD — биссектриса.

2. а) Накрест лежащие углы

   Вписанные углы DPQ и DAQ опираются на одну дугу DQ, поэтому ∠DPQ = ∠DAQ = ∠BAC/2. Итак, ∠BDP = ∠DPQ, а это накрест лежащие углы при прямых PQ и BC и секущей PD. Значит, PQ ∥ BC.

3. б) Отрезки BD и DC

   По свойству биссектрисы BD : DC = AB : AC = 8 : 6, поэтому BD = 7·8/14 = 4, DC = 3.

4. б) Квадрат касательной

   Из точки B к окружности проведены касательная BD и секущая BPA, поэтому BD² = BP·BA: BP = 16/8 = 2, AP = 8 − 2 = 6.

5. б) Подобие и проверка

   Так как PQ ∥ BC, треугольники APQ и ABC подобны с коэффициентом AP/AB = 3/4, поэтому PQ = 7·(3/4) = 21/4. Проверка через вершину C: CD² = CQ·CA, CQ = 9/6 = 3/2, AQ/AC = 3/4 — тот же коэффициент. Типичная ошибка — записать BD = BP·BA без квадрата: получится BP = 1/2.

Ответ: 21/4

3

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах: в пункте а доказано ∠BDP = ∠DAP (угол между касательной и хордой) и ∠DPQ = ∠DAQ, и из равенства накрест лежащих углов выведена параллельность; в пункте б найдены BD = 4 по свойству биссектрисы, BP = 2 из BD² = BP·BA и коэффициент подобия 3/4, получен ответ 21/4.

2

Обоснованно получен верный ответ 21/4 в пункте б, ИЛИ имеется верное доказательство пункта а (PQ ∥ BC) и при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки.

1

Имеется верное доказательство пункта а (PQ ∥ BC), ИЛИ при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен ответ 21/4 в пункте б с использованием утверждения пункта а без его доказательства.

0

Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.