ЕГЭ, задание 17: Планиметрическая задача

Чему равна медиана прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе? Рассмотрите треугольники AOD и BOC.

Перенесите диагональ BD параллельно в вершину C: какой треугольник получится и какой у него угол?

1. а) Медианы прямоугольных треугольников

   Пусть O — точка пересечения диагоналей. Треугольник AOD прямоугольный (∠AOD = 90°), OM — его медиана к гипотенузе, поэтому OM = AD/2. Так же в прямоугольном треугольнике BOC медиана ON = BC/2.

2. а) Точки M, O, N на одной прямой

   Проведём прямую NO до пересечения с AD в точке M'. Треугольники BON и DOM' подобны, CON и AOM' тоже (вертикальные углы при O и накрест лежащие при BC ∥ AD), поэтому BN : DM' = ON : OM' = CN : AM'. Так как BN = CN, получаем DM' = AM', то есть M' = M. Точка O лежит между основаниями, значит, MN = MO + ON = (AD + BC)/2.

3. б) Сумма оснований и перенос диагонали

   По пункту а AD + BC = 2 · 13 = 26. Проведём через C прямую, параллельную BD, до пересечения с прямой AD в точке E. BCED — параллелограмм: DE = BC, CE = BD, поэтому AE = AD + BC = 26. CE ∥ BD ⊥ AC, значит, угол ACE прямой.

4. б) Высота как высота прямоугольного треугольника ACE

   CE = √(AE² − AC²) = √(26² − 10²) = √576 = 24. Высота трапеции — это расстояние от C до прямой AE, то есть высота прямоугольного треугольника ACE к гипотенузе: h = AC · CE : AE = 10 · 24 : 26 = 120/13.

5. Проверяем и записываем ответ

   Площадь трапеции равна площади треугольника ACE: (1/2) · 10 · 24 = 120 и (AD + BC)/2 · h = 13 · 120/13 = 120 — совпадает. Типичная ошибка — считать высоту равной MN = 13: это верно только для равнобедренной трапеции с перпендикулярными диагоналями, здесь трапеция не равнобедренная.

Ответ: 120/13

3

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах: в пункте а доказано, что MN = (AD + BC)/2 (OM и ON — медианы прямоугольных треугольников, M, O, N на одной прямой); в пункте б найдены AD + BC = 26, BD = 24 и высота как AC · BD : (AD + BC) и получен ответ 120/13.

2

Обоснованно получен верный ответ 120/13 в пункте б, но доказательство пункта а отсутствует или неверно, ИЛИ верно доказано, что MN = (AD + BC)/2 (OM и ON — медианы прямоугольных треугольников, M, O, N на одной прямой), а в обоснованном решении пункта б допущена арифметическая ошибка (например, в длине второй диагонали).

1

Верно доказано только утверждение пункта а (MN = (AD + BC)/2 (OM и ON — медианы прямоугольных треугольников, M, O, N на одной прямой)), ИЛИ при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ верный ответ 120/13 в пункте б получен с использованием утверждения пункта а без его доказательства.

0

Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.