Условие
Четырёхугольник ABCD описан около окружности, AB = BC = 13, CD = 20, диагональ AC = 24. а) Докажите, что диагональ BD перпендикулярна AC и делит её пополам. б) Найдите радиус окружности, вписанной в четырёхугольник ABCD.
Подсказка
Какое равенство сторон выполняется в любом описанном четырёхугольнике? Что из него следует для AD?
Площадь описанного многоугольника равна произведению полупериметра на радиус вписанной окружности.
Показать ответ
84/11
Пошаговое решение
- а) Свойство описанного четырёхугольника
В четырёхугольнике, описанном около окружности, суммы противоположных сторон равны: AB + CD = BC + AD. Так как AB = BC, получаем AD = CD = 20.
- а) BD — серединный перпендикуляр к AC
Точка B равноудалена от A и C (AB = BC), точка D тоже (AD = CD). Обе лежат на серединном перпендикуляре к отрезку AC, значит, прямая BD и есть этот серединный перпендикуляр: BD ⊥ AC и делит AC пополам. ABCD — дельтоид.
- б) Диагональ BD
Пусть BD и AC пересекаются в точке H, AH = 12. Из прямоугольных треугольников ABH и ADH: BH = √(13² − 12²) = 5, DH = √(20² − 12²) = 16. Четырёхугольник выпуклый, B и D по разные стороны от AC: BD = 5 + 16 = 21.
- б) Радиус через площадь и полупериметр
S = (1/2) · AC · BD = (1/2) · 24 · 21 = 252 (диагонали перпендикулярны). Полупериметр p = (13 + 13 + 20 + 20) : 2 = 33. Для описанного многоугольника S = p · r, r = 252 : 33 = 84/11.
- Проверяем и записываем ответ
Площадь по частям: S(ABC) + S(ADC) = (1/2) · 24 · 5 + (1/2) · 24 · 16 = 60 + 192 = 252, и p · r = 33 · 84/11 = 252 — совпадает. Типичная ошибка — делить площадь на полный периметр 66 вместо полупериметра (получится вдвое меньший радиус).
Ответ: 84/11
Критерии оценивания (3 балла)
- 3
- Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах: в пункте а доказано, что AD = CD (по свойству описанного четырёхугольника) и BD — серединный перпендикуляр к AC; в пункте б найдены BD = 21, S = 252, p = 33 и r = S/p и получен ответ 84/11.
- 2
- Обоснованно получен верный ответ 84/11 в пункте б, но доказательство пункта а отсутствует или неверно, ИЛИ верно доказано, что AD = CD (по свойству описанного четырёхугольника) и BD — серединный перпендикуляр к AC, а в обоснованном решении пункта б допущена арифметическая ошибка (например, в отрезках BH, DH или в площади).
- 1
- Верно доказано только утверждение пункта а (AD = CD (по свойству описанного четырёхугольника) и BD — серединный перпендикуляр к AC), ИЛИ при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ верный ответ 84/11 в пункте б получен с использованием утверждения пункта а без его доказательства.
- 0
- Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.