Условие
В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом C проведена высота CH. Окружности с центрами O₁ и O₂ и радиусами r₁ и r₂ вписаны в треугольники ACH и BCH соответственно, r — радиус окружности, вписанной в треугольник ABC. а) Докажите, что r₁² + r₂² = r². б) Найдите O₁O₂, если AC = 20, BC = 21.
Подсказка
Треугольники ACH и BCH подобны треугольнику ABC. Как связаны радиусы их вписанных окружностей?
Центры O₁ и O₂ лежат на биссектрисах прямых углов при вершине H. Какой угол O₁HO₂?
Показать ответ
6√2
Пошаговое решение
- а) Подобные прямоугольные треугольники
Треугольники ACH и ABC прямоугольные (∠AHC = ∠ACB = 90°) и имеют общий острый угол A, поэтому они подобны с коэффициентом AC/AB. Так же треугольники BCH и BAC подобны (общий угол B) с коэффициентом BC/AB. При подобии радиусы вписанных окружностей умножаются на коэффициент: r₁ = r·AC/AB, r₂ = r·BC/AB.
- а) Складываем квадраты радиусов
r₁² + r₂² = r²·(AC² + BC²)/AB² = r², потому что AC² + BC² = AB² по теореме Пифагора для треугольника ABC. Что и требовалось доказать.
- б) Гипотенуза и радиус r
AB = √(20² + 21²) = √841 = 29. Отрезки касательных из C к вписанной окружности равны r, а AB складывается из двух других отрезков касательных, поэтому r = (AC + BC − AB)/2 = (20 + 21 − 29)/2 = 6.
- б) Угол O₁HO₂ прямой
Центр окружности, вписанной в треугольник ACH, лежит на биссектрисе его прямого угла AHC, поэтому ∠O₁HC = 45°; так же ∠O₂HC = 45°, значит, ∠O₁HO₂ = 90°. Расстояния от O₁ до прямых CH и AB равны r₁, поэтому HO₁ = r₁√2 (диагональ квадрата со стороной r₁); так же HO₂ = r₂√2.
- б) Теорема Пифагора и пункт а
O₁O₂² = HO₁² + HO₂² = 2(r₁² + r₂²) = 2r² = 2·36 = 72, O₁O₂ = 6√2. Сами радиусы r₁ = 120/29 и r₂ = 126/29 можно не вычислять. Типичная ошибка — считать, что O₁, H и O₂ лежат на одной прямой, и взять O₁O₂ = r₁ + r₂ = 246/29.
Ответ: 6√2
Критерии оценивания (3 балла)
- 3
- Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах: в пункте а из подобия треугольников ACH, BCH и ABC получены r₁ = r·AC/AB, r₂ = r·BC/AB и применена теорема Пифагора; в пункте б найден r = 6, обосновано, что ∠O₁HO₂ = 90° и HO₁ = r₁√2, HO₂ = r₂√2, получен ответ 6√2.
- 2
- Обоснованно получен верный ответ 6√2 в пункте б, ИЛИ имеется верное доказательство пункта а (r₁² + r₂² = r²) и при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки.
- 1
- Имеется верное доказательство пункта а (r₁² + r₂² = r²), ИЛИ при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен ответ 6√2 в пункте б с использованием утверждения пункта а без его доказательства.
- 0
- Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.