Условие
В трапеции ABCD основание AD больше основания BC. Средняя линия MN (M лежит на AB, N — на CD) пересекает диагонали BD и AC в точках P и Q соответственно. а) Докажите, что PQ = (AD − BC)/2. б) Найдите площадь трапеции, если MN = 17, PQ = 7, AB = 13, CD = 15.
Подсказка
По теореме Фалеса средняя линия делит пополам не только боковые стороны, но и диагонали.
Зная основания, проведите через вершину C прямую, параллельную AB: получится треугольник с известными сторонами.
Показать ответ
204
Пошаговое решение
- а) P и Q — середины диагоналей
Средняя линия MN параллельна основаниям. В треугольнике ABD прямая MN проходит через середину M стороны AB параллельно AD, поэтому по теореме Фалеса она делит BD пополам: P — середина BD, и MP — средняя линия треугольника ABD, MP = AD/2. Так же в треугольнике ABC: Q — середина AC, MQ = BC/2.
- а) Разность отрезков
Точки Q и P лежат на луче MN, MQ = BC/2 < AD/2 = MP, поэтому Q между M и P, и PQ = MP − MQ = (AD − BC)/2.
- б) Основания трапеции
MN = (AD + BC)/2 = 17 и PQ = (AD − BC)/2 = 7. Складывая и вычитая: AD = 17 + 7 = 24, BC = 17 − 7 = 10.
- б) Высота через треугольник с боковыми сторонами
Проведём CE ∥ AB, E на AD. ABCE — параллелограмм: CE = AB = 13, AE = BC = 10, ED = 24 − 10 = 14. В треугольнике CED стороны 13, 15, 14; полупериметр 21, по формуле Герона S = √(21 · 8 · 6 · 7) = 84. Высота к ED: h = 2 · 84 : 14 = 12 — это и высота трапеции.
- Проверяем и записываем ответ
S(ABCD) = MN · h = 17 · 12 = 204. Проверка: проекции боковых сторон √(13² − 12²) = 5 и √(15² − 12²) = 9 в сумме дают 14 = AD − BC. Типичная ошибка — считать PQ = AD − BC (забыть половину): основания получатся другими, и треугольник CED — тоже.
Ответ: 204
Критерии оценивания (3 балла)
- 3
- Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах: в пункте а доказано, что PQ = (AD − BC)/2 (P и Q — середины диагоналей, MP и MQ — средние линии); в пункте б найдены AD = 24, BC = 10, по формуле Герона высота 12 и получен ответ 204.
- 2
- Обоснованно получен верный ответ 204 в пункте б, но доказательство пункта а отсутствует или неверно, ИЛИ верно доказано, что PQ = (AD − BC)/2 (P и Q — середины диагоналей, MP и MQ — средние линии), а в обоснованном решении пункта б допущена арифметическая ошибка (например, в формуле Герона или в основаниях).
- 1
- Верно доказано только утверждение пункта а (PQ = (AD − BC)/2 (P и Q — середины диагоналей, MP и MQ — средние линии)), ИЛИ при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ верный ответ 204 в пункте б получен с использованием утверждения пункта а без его доказательства.
- 0
- Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.